(x+3)^4+2(x+3)^2-8=0 la ecuación

Tenemos la ecuación:
$$\left(\left(x + 3\right)^{4} + 2 \left(x + 3\right)^{2}\right) - 8 = 0$$
Sustituimos
$$v = \left(x + 3\right)^{2}$$
entonces la ecuación será así:
$$v^{2} + 2 v - 8 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*v^2 + b*v + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 2$$
$$c = -8$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (1) * (-8) = 36

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$v_{1} = 2$$
$$v_{2} = -4$$
Entonces la respuesta definitiva es:
Como
$$v = \left(x + 3\right)^{2}$$
entonces
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}} - 3$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}} - 3$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}} - 3$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}} - 3$$
entonces:
$$x_{1} = $$
$$- \frac{3}{1} + \frac{2^{\frac{1}{2}}}{1} = -3 + \sqrt{2}$$
$$x_{2} = $$
$$- \frac{3}{1} + \frac{\left(-1\right) 2^{\frac{1}{2}}}{1} = -3 - \sqrt{2}$$
$$x_{3} = $$
$$- \frac{3}{1} + \frac{\left(-4\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = -3 + 2 i$$
$$x_{4} = $$
$$- \frac{3}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(-4\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = -3 - 2 i$$