Sr Examen

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Gráfico de la función y = exp(-x)*sqrt(1+x+x^2)-x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
              ____________     
        -x   /          2     2
f(x) = e  *\/  1 + x + x   - x 
$$f{\left(x \right)} = - x^{2} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)} e^{- x}$$
f = -x^2 + sqrt(x^2 + x + 1)*exp(-x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- x^{2} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)} e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 0.831587211047513$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(-x)*sqrt(1 + x + x^2) - x^2.
$$- 0^{2} + \sqrt{0^{2} + 1} e^{- 0}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 x + \frac{\left(x + \frac{1}{2}\right) e^{- x}}{\sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}} - \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)} e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\left(2 x + 1\right)^{2} e^{- x}}{4 \left(x^{2} + x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{\left(2 x + 1\right) e^{- x}}{\sqrt{x^{2} + x + 1}} + \sqrt{x^{2} + x + 1} e^{- x} - 2 + \frac{e^{- x}}{\sqrt{x^{2} + x + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -0.29399701897791$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -0.29399701897791\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-0.29399701897791, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{2} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)} e^{- x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)} e^{- x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(-x)*sqrt(1 + x + x^2) - x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)} e^{- x}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)} e^{- x}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- x^{2} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)} e^{- x} = - x^{2} + \sqrt{x^{2} - x + 1} e^{x}$$
- No
$$- x^{2} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)} e^{- x} = x^{2} - \sqrt{x^{2} - x + 1} e^{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar