Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=(x+1)^3
-
2*x^2-6*x
-
y=5x
-
y=4^x
- ¿cómo vas a descomponer esta expresión en fracciones?:
- 1/(x^2+9)-2*x^2/(x^2+9)^2
-
Expresiones idénticas
- uno /(x^ dos + nueve)- dos *x^ dos /(x^ dos + nueve)^ dos
- 1 dividir por (x al cuadrado más 9) menos 2 multiplicar por x al cuadrado dividir por (x al cuadrado más 9) al cuadrado
- uno dividir por (x en el grado dos más nueve) menos dos multiplicar por x en el grado dos dividir por (x en el grado dos más nueve) en el grado dos
- 1/(x2+9)-2*x2/(x2+9)2
- 1/x2+9-2*x2/x2+92
- 1/(x²+9)-2*x²/(x²+9)²
- 1/(x en el grado 2+9)-2*x en el grado 2/(x en el grado 2+9) en el grado 2
- 1/(x^2+9)-2x^2/(x^2+9)^2
- 1/(x2+9)-2x2/(x2+9)2
- 1/x2+9-2x2/x2+92
- 1/x^2+9-2x^2/x^2+9^2
- 1 dividir por (x^2+9)-2*x^2 dividir por (x^2+9)^2
-
Expresiones semejantes
- 1/(x^2+9)-2*x^2/(x^2-9)^2
- 1/(x^2-9)-2*x^2/(x^2+9)^2
- 1/(x^2+9)+2*x^2/(x^2+9)^2
Gráfico de la función y = 1/(x^2+9)-2*x^2/(x^2+9)^2
Solución
Ha introducido
[src]
2
1 2*x
f(x) = ------ - ---------
2 2
x + 9 / 2 \
\x + 9/
$$f{\left(x \right)} = - \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 9}$$
f = -2*x^2/(x^2 + 9)^2 + 1/(x^2 + 9)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -3$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -3$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{8 x^{3}}{\left(x^{2} + 9\right)^{3}} - \frac{6 x}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 3 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 3 \sqrt{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - 3 \sqrt{3}$$
$$x_{2} = 3 \sqrt{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- 3 \sqrt{3}, 0\right] \cup \left[3 \sqrt{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3 \sqrt{3}\right] \cup \left[0, 3 \sqrt{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{8 x^{3}}{\left(x^{2} + 9\right)^{3}} - \frac{6 x}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 3 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 3 \sqrt{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1/9)
___ (-3*\/ 3, -1/72)
___ (3*\/ 3, -1/72)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - 3 \sqrt{3}$$
$$x_{2} = 3 \sqrt{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- 3 \sqrt{3}, 0\right] \cup \left[3 \sqrt{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3 \sqrt{3}\right] \cup \left[0, 3 \sqrt{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 \left(- \frac{8 x^{4}}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2} + 9} - 1\right)}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3 + 3 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = 3 - 3 \sqrt{2}$$
$$x_{3} = 3 + 3 \sqrt{2}$$
$$x_{4} = - 3 \sqrt{2} - 3$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 3 \sqrt{2} - 3, 3 - 3 \sqrt{2}\right] \cup \left[-3 + 3 \sqrt{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3 \sqrt{2} - 3\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 \left(- \frac{8 x^{4}}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2} + 9} - 1\right)}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3 + 3 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = 3 - 3 \sqrt{2}$$
$$x_{3} = 3 + 3 \sqrt{2}$$
$$x_{4} = - 3 \sqrt{2} - 3$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 3 \sqrt{2} - 3, 3 - 3 \sqrt{2}\right] \cup \left[-3 + 3 \sqrt{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3 \sqrt{2} - 3\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 9}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 9}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 9}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 9}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(x^2 + 9) - 2*x^2/(x^2 + 9)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 9}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 9}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 9}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 9}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 9} = - \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 9}$$
- Sí
$$- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 9} = \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} + 9}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 9} = - \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 9}$$
- Sí
$$- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 9} = \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} + 9}$$
- No
es decir, función
es
par