Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} + \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} - \frac{2 \left(x - 1\right)}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{5}$$
$$x_{2} = \left(\frac{5^{\frac{2}{3}}}{10} - \frac{\sqrt{3} \cdot 5^{\frac{2}{3}} i}{10}\right)^{3}$$
$$x_{3} = \left(\frac{5^{\frac{2}{3}}}{10} + \frac{\sqrt{3} \cdot 5^{\frac{2}{3}} i}{10}\right)^{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
2/3 3 ___
(-1/5, (-1) *\/ 5 )
3
2/3 / 2/3 ___ 2/3\
3 / 3\ |5 I*\/ 3 *5 |
/ 2/3 ___ 2/3\ |/ 2/3 ___ 2/3\ | -2 + 2*|---- - ------------|
|5 I*\/ 3 *5 | ||5 I*\/ 3 *5 | | \ 10 10 /
(|---- - ------------|, ||---- - ------------| | + --------------------------------)
\ 10 10 / \\ 10 10 / / ________________________
/ 3
/ / 2/3 ___ 2/3\
/ |5 I*\/ 3 *5 |
3*3 / |---- - ------------|
\/ \ 10 10 /
3
2/3 / 2/3 ___ 2/3\
3 / 3\ |5 I*\/ 3 *5 |
/ 2/3 ___ 2/3\ |/ 2/3 ___ 2/3\ | -2 + 2*|---- + ------------|
|5 I*\/ 3 *5 | ||5 I*\/ 3 *5 | | \ 10 10 /
(|---- + ------------|, ||---- + ------------| | + --------------------------------)
\ 10 10 / \\ 10 10 / / ________________________
/ 3
/ / 2/3 ___ 2/3\
/ |5 I*\/ 3 *5 |
3*3 / |---- + ------------|
\/ \ 10 10 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Decrece en todo el eje numérico