Sr Examen

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Gráfico de la función y = (-6*(4-x)*(x^2-16x+64))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                  / 2            \
f(x) = -6*(4 - x)*\x  - 16*x + 64/
$$f{\left(x \right)} = - 6 \left(4 - x\right) \left(\left(x^{2} - 16 x\right) + 64\right)$$
f = (-6*(4 - x))*(x^2 - 16*x + 64)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- 6 \left(4 - x\right) \left(\left(x^{2} - 16 x\right) + 64\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 8$$
Solución numérica
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = 4$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-6*(4 - x))*(x^2 - 16*x + 64).
$$- 6 \left(4 - 0\right) \left(\left(0^{2} - 0\right) + 64\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -1536$$
Punto:
(0, -1536)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 6 \left(4 - x\right) \left(2 x - 16\right) + 6 \left(x^{2} - 16 x\right) + 384 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{16}{3}$$
$$x_{2} = 8$$
Signos de extremos en los puntos:
(16/3, 512/9)

(8, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 8$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{16}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{16}{3}\right] \cup \left[8, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{16}{3}, 8\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$12 \left(3 x - 20\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{20}{3}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{20}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{20}{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 6 \left(4 - x\right) \left(\left(x^{2} - 16 x\right) + 64\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 6 \left(4 - x\right) \left(\left(x^{2} - 16 x\right) + 64\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-6*(4 - x))*(x^2 - 16*x + 64), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{6 \left(4 - x\right) \left(\left(x^{2} - 16 x\right) + 64\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{6 \left(4 - x\right) \left(\left(x^{2} - 16 x\right) + 64\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- 6 \left(4 - x\right) \left(\left(x^{2} - 16 x\right) + 64\right) = \left(- 6 x - 24\right) \left(x^{2} + 16 x + 64\right)$$
- No
$$- 6 \left(4 - x\right) \left(\left(x^{2} - 16 x\right) + 64\right) = - \left(- 6 x - 24\right) \left(x^{2} + 16 x + 64\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar