Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+5)^2-9
-
x^(7/2)-3
-
x^3/
-
x^4-3*x^2+4
-
Expresiones idénticas
- (-x^ dos +5x- seis)/(x^ dos - tres x+3)
- ( menos x al cuadrado más 5x menos 6) dividir por (x al cuadrado menos 3x más 3)
- ( menos x en el grado dos más 5x menos seis) dividir por (x en el grado dos menos tres x más 3)
- (-x2+5x-6)/(x2-3x+3)
- -x2+5x-6/x2-3x+3
- (-x²+5x-6)/(x²-3x+3)
- (-x en el grado 2+5x-6)/(x en el grado 2-3x+3)
- -x^2+5x-6/x^2-3x+3
- (-x^2+5x-6) dividir por (x^2-3x+3)
-
Expresiones semejantes
- (-x^2+5x-6)/(x^2-3x-3)
- (x^2+5x-6)/(x^2-3x+3)
- (-x^2+5x-6)/(x^2+3x+3)
- (-x^2+5x+6)/(x^2-3x+3)
- (-x^2-5x-6)/(x^2-3x+3)
Gráfico de la función y = (-x^2+5x-6)/(x^2-3x+3)
Solución
Ha introducido
[src]
2
- x + 5*x - 6
f(x) = --------------
2
x - 3*x + 3
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(- x^{2} + 5 x\right) - 6}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3}$$
f = (-x^2 + 5*x - 6)/(x^2 - 3*x + 3)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(- x^{2} + 5 x\right) - 6}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(- x^{2} + 5 x\right) - 6}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(3 - 2 x\right) \left(\left(- x^{2} + 5 x\right) - 6\right)}{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 3\right)^{2}} + \frac{5 - 2 x}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(3 - 2 x\right) \left(\left(- x^{2} + 5 x\right) - 6\right)}{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 3\right)^{2}} + \frac{5 - 2 x}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
2
/ ___\ ___
3 |3 \/ 3 | 5*\/ 3
___ - - |- - -----| - -------
3 \/ 3 2 \2 2 / 2
(- - -----, ----------------------------)
2 2 2
/ ___\ ___
3 |3 \/ 3 | 3*\/ 3
- - + |- - -----| + -------
2 \2 2 / 2 2
/ ___\ ___
3 |3 \/ 3 | 5*\/ 3
___ - - |- + -----| + -------
3 \/ 3 2 \2 2 / 2
(- + -----, ----------------------------)
2 2 2
/ ___\ ___
3 |3 \/ 3 | 3*\/ 3
- - + |- + -----| - -------
2 \2 2 / 2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{\left(2 x - 5\right) \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 3 x + 3} - \frac{\left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 3} - 1\right) \left(x^{2} - 5 x + 6\right)}{x^{2} - 3 x + 3} - 1\right)}{x^{2} - 3 x + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{3}{2}$$
$$x_{3} = 3$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0, \frac{3}{2}\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{3}{2}, 3\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{\left(2 x - 5\right) \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 3 x + 3} - \frac{\left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 3} - 1\right) \left(x^{2} - 5 x + 6\right)}{x^{2} - 3 x + 3} - 1\right)}{x^{2} - 3 x + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{3}{2}$$
$$x_{3} = 3$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0, \frac{3}{2}\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{3}{2}, 3\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x^{2} + 5 x\right) - 6}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} + 5 x\right) - 6}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x^{2} + 5 x\right) - 6}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} + 5 x\right) - 6}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = -1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-x^2 + 5*x - 6)/(x^2 - 3*x + 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x^{2} + 5 x\right) - 6}{x \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} + 5 x\right) - 6}{x \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x^{2} + 5 x\right) - 6}{x \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} + 5 x\right) - 6}{x \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(- x^{2} + 5 x\right) - 6}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3} = \frac{- x^{2} - 5 x - 6}{x^{2} + 3 x + 3}$$
- No
$$\frac{\left(- x^{2} + 5 x\right) - 6}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3} = - \frac{- x^{2} - 5 x - 6}{x^{2} + 3 x + 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(- x^{2} + 5 x\right) - 6}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3} = \frac{- x^{2} - 5 x - 6}{x^{2} + 3 x + 3}$$
- No
$$\frac{\left(- x^{2} + 5 x\right) - 6}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3} = - \frac{- x^{2} - 5 x - 6}{x^{2} + 3 x + 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico