Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
x/(1-x^3)
-
Expresiones idénticas
- x(x- uno)/(x+ dos)(x+ uno)
- x(x menos 1) dividir por (x más 2)(x más 1)
- x(x menos uno) dividir por (x más dos)(x más uno)
- xx-1/x+2x+1
- x(x-1) dividir por (x+2)(x+1)
-
Expresiones semejantes
- x(x-1)/(x-2)(x+1)
- x(x-1)/(x+2)(x-1)
- x(x+1)/(x+2)(x+1)
Gráfico de la función y = x(x-1)/(x+2)(x+1)
Solución
Ha introducido
[src]
x*(x - 1)
f(x) = ---------*(x + 1)
x + 2
$$f{\left(x \right)} = \frac{x \left(x - 1\right)}{x + 2} \left(x + 1\right)$$
f = ((x*(x - 1))/(x + 2))*(x + 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = -2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x \left(x - 1\right)}{x + 2} \left(x + 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x \left(x - 1\right)}{x + 2} \left(x + 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x \left(x - 1\right)}{x + 2} + \left(x + 1\right) \left(- \frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{2 x - 1}{x + 2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1 - \frac{\sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{3} i}{2}}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{3} i}{2}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 1$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 1\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x \left(x - 1\right)}{x + 2} + \left(x + 1\right) \left(- \frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{2 x - 1}{x + 2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1 - \frac{\sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{3} i}{2}}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{3} i}{2}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ _________________\ / _________________\ / _________________\
| / ___ | | / ___ | | / ___ |
| / 27 27*I*\/ 3 | | / 27 27*I*\/ 3 | | / 27 27*I*\/ 3 |
| 3 / -- + ---------- | | 3 / -- + ---------- | | 3 / -- + ---------- |
| 3 \/ 2 2 | | 3 \/ 2 2 | | 3 \/ 2 2 |
|- ---------------------- - ----------------------|*|-1 - ---------------------- - ----------------------|*|-2 - ---------------------- - ----------------------|
_________________ | _________________ 3 | | _________________ 3 | | _________________ 3 |
/ ___ | / ___ | | / ___ | | / ___ |
/ 27 27*I*\/ 3 | / 27 27*I*\/ 3 | | / 27 27*I*\/ 3 | | / 27 27*I*\/ 3 |
3 / -- + ---------- | 3 / -- + ---------- | | 3 / -- + ---------- | | 3 / -- + ---------- |
3 \/ 2 2 \ \/ 2 2 / \ \/ 2 2 / \ \/ 2 2 /
(-1 - ---------------------- - ----------------------, -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
_________________ 3 _________________
/ ___ / ___
/ 27 27*I*\/ 3 / 27 27*I*\/ 3
3 / -- + ---------- 3 / -- + ----------
\/ 2 2 3 \/ 2 2
1 - ---------------------- - ----------------------
_________________ 3
/ ___
/ 27 27*I*\/ 3
3 / -- + ----------
\/ 2 2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 1$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 1\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{x \left(x - 1\right)}{x + 2} + 2 x + \left(x + 1\right) \left(\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} + 1 - \frac{2 x - 1}{x + 2}\right) - 1\right)}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 + \sqrt[3]{6}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{x \left(x - 1\right)}{x + 2} + 2 x + \left(x + 1\right) \left(\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} + 1 - \frac{2 x - 1}{x + 2}\right) - 1\right)}{x + 2}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{x \left(x - 1\right)}{x + 2} + 2 x + \left(x + 1\right) \left(\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} + 1 - \frac{2 x - 1}{x + 2}\right) - 1\right)}{x + 2}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-2 + \sqrt[3]{6}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -2 + \sqrt[3]{6}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{x \left(x - 1\right)}{x + 2} + 2 x + \left(x + 1\right) \left(\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} + 1 - \frac{2 x - 1}{x + 2}\right) - 1\right)}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 + \sqrt[3]{6}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{x \left(x - 1\right)}{x + 2} + 2 x + \left(x + 1\right) \left(\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} + 1 - \frac{2 x - 1}{x + 2}\right) - 1\right)}{x + 2}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{x \left(x - 1\right)}{x + 2} + 2 x + \left(x + 1\right) \left(\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} + 1 - \frac{2 x - 1}{x + 2}\right) - 1\right)}{x + 2}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-2 + \sqrt[3]{6}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -2 + \sqrt[3]{6}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = -2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x - 1\right)}{x + 2} \left(x + 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x - 1\right)}{x + 2} \left(x + 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x - 1\right)}{x + 2} \left(x + 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x - 1\right)}{x + 2} \left(x + 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x*(x - 1))/(x + 2))*(x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}{x + 2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}{x + 2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}{x + 2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}{x + 2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x \left(x - 1\right)}{x + 2} \left(x + 1\right) = - \frac{x \left(1 - x\right) \left(- x - 1\right)}{2 - x}$$
- No
$$\frac{x \left(x - 1\right)}{x + 2} \left(x + 1\right) = \frac{x \left(1 - x\right) \left(- x - 1\right)}{2 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x \left(x - 1\right)}{x + 2} \left(x + 1\right) = - \frac{x \left(1 - x\right) \left(- x - 1\right)}{2 - x}$$
- No
$$\frac{x \left(x - 1\right)}{x + 2} \left(x + 1\right) = \frac{x \left(1 - x\right) \left(- x - 1\right)}{2 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar