Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+5)^2-9
-
x^(7/2)-3
-
x^3/
-
x^4-3*x^2+4
-
Expresiones idénticas
- y=sinx/x+sinx*cosx
- y es igual a seno de x dividir por x más seno de x multiplicar por coseno de x
- y=sinx/x+sinxcosx
- y=sinx dividir por x+sinx*cosx
-
Expresiones semejantes
- y=sinx/x-sinx*cosx
Gráfico de la función y = y=sinx/x+sinx*cosx
Solución
Ha introducido
[src]
sin(x)
f(x) = ------ + sin(x)*cos(x)
x
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$$
f = sin(x)*cos(x) + sin(x)/x
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 99.7419990458477$$
$$x_{2} = -73.0467797410831$$
$$x_{3} = 32.2118410216256$$
$$x_{4} = 98.1711926892522$$
$$x_{5} = 87.175110314276$$
$$x_{6} = 3.85001260629681$$
$$x_{7} = -68.3349166854216$$
$$x_{8} = 88.7539153126948$$
$$x_{9} = 25.9310652736533$$
$$x_{10} = 18.0438521980464$$
$$x_{11} = -93.4662189721503$$
$$x_{12} = 46.3463434318812$$
$$x_{13} = 2.56712923422766$$
$$x_{14} = -85.6124642984728$$
$$x_{15} = 62.0406965750331$$
$$x_{16} = 24.332423120483$$
$$x_{17} = -13.3265061115379$$
$$x_{18} = -101.312895578632$$
$$x_{19} = -99.7491593233474$$
$$x_{20} = 14.9483714808076$$
$$x_{21} = -55.7697632665031$$
$$x_{22} = -46.3307535575245$$
$$x_{23} = -24.3626646716484$$
$$x_{24} = -90.3168461111597$$
$$x_{25} = 27.5024260342423$$
$$x_{26} = 10.1776020095877$$
$$x_{27} = 90.324761762103$$
$$x_{28} = -58.8987933860556$$
$$x_{29} = -47.9164585651064$$
$$x_{30} = -79.3295953315622$$
$$x_{31} = 52.6285679625283$$
$$x_{32} = -54.198833966284$$
$$x_{33} = 68.3244164639694$$
$$x_{34} = -76.1790200326919$$
$$x_{35} = 47.902006352849$$
$$x_{36} = -32.1905606436455$$
$$x_{37} = -71.4662408374233$$
$$x_{38} = 63.6226902513011$$
$$x_{39} = 60.4698740889414$$
$$x_{40} = 66.7535986152474$$
$$x_{41} = -2.13067580133032$$
$$x_{42} = 85.6043008289998$$
$$x_{43} = -35.3525364833027$$
$$x_{44} = 96.607685110741$$
$$x_{45} = 77.7590442103579$$
$$x_{46} = 41.6177386680328$$
$$x_{47} = 74.6080455260241$$
$$x_{48} = -3.98681928796427$$
$$x_{49} = -16.513030008333$$
$$x_{50} = -60.4813736568235$$
$$x_{51} = -38.4754744655075$$
$$x_{52} = 44.7753533776904$$
$$x_{53} = -18.0851778759103$$
$$x_{54} = 11.749189496695$$
$$x_{55} = 49.4728440629637$$
$$x_{56} = 30.6187357438602$$
$$x_{57} = -33.761447012494$$
$$x_{58} = -82.4625532350532$$
$$x_{59} = 16.4727302007172$$
$$x_{60} = 8.68648208448696$$
$$x_{61} = 69.9053963676475$$
$$x_{62} = 91.8877644554526$$
$$x_{63} = -77.7498329359853$$
$$x_{64} = -63.6117495328543$$
$$x_{65} = -98.1783219676962$$
$$x_{66} = 82.471023892213$$
$$x_{67} = -25.9048290054831$$
$$x_{68} = -69.8954248581046$$
$$x_{69} = -11.8143521031934$$
$$x_{70} = -84.0333637317141$$
$$x_{71} = 19.6517134583601$$
$$x_{72} = 76.1881800544113$$
$$x_{73} = 54.1860259929599$$
$$x_{74} = -57.3279679981299$$
$$x_{75} = 40.0644298452696$$
$$x_{76} = -62.0522770701914$$
$$x_{77} = 84.0418781942837$$
$$x_{78} = -91.8953758638005$$
$$x_{79} = -19.6175192917723$$
$$x_{80} = -10.2401969871787$$
$$x_{81} = 38.4933727819351$$
$$x_{82} = -40.0463343789945$$
$$x_{83} = -27.4757625263428$$
$$x_{84} = 21.2234762572363$$
$$x_{85} = -5.57675219474535$$
$$x_{86} = 33.7830070040815$$
$$x_{87} = -49.4874244151854$$
$$x_{88} = 55.7568547935908$$
$$x_{89} = -41.6343192117396$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 99.7419990458477$$
$$x_{2} = -73.0467797410831$$
$$x_{3} = 87.175110314276$$
$$x_{4} = 18.0438521980464$$
$$x_{5} = 46.3463434318812$$
$$x_{6} = 2.56712923422766$$
$$x_{7} = -85.6124642984728$$
$$x_{8} = 62.0406965750331$$
$$x_{9} = 24.332423120483$$
$$x_{10} = -13.3265061115379$$
$$x_{11} = -101.312895578632$$
$$x_{12} = 14.9483714808076$$
$$x_{13} = 27.5024260342423$$
$$x_{14} = 90.324761762103$$
$$x_{15} = -47.9164585651064$$
$$x_{16} = -79.3295953315622$$
$$x_{17} = 52.6285679625283$$
$$x_{18} = -54.198833966284$$
$$x_{19} = 68.3244164639694$$
$$x_{20} = -76.1790200326919$$
$$x_{21} = -32.1905606436455$$
$$x_{22} = -35.3525364833027$$
$$x_{23} = 96.607685110741$$
$$x_{24} = 77.7590442103579$$
$$x_{25} = 74.6080455260241$$
$$x_{26} = -3.98681928796427$$
$$x_{27} = -16.513030008333$$
$$x_{28} = -60.4813736568235$$
$$x_{29} = -38.4754744655075$$
$$x_{30} = 11.749189496695$$
$$x_{31} = 49.4728440629637$$
$$x_{32} = 30.6187357438602$$
$$x_{33} = -82.4625532350532$$
$$x_{34} = 8.68648208448696$$
$$x_{35} = -63.6117495328543$$
$$x_{36} = -98.1783219676962$$
$$x_{37} = -25.9048290054831$$
$$x_{38} = -69.8954248581046$$
$$x_{39} = -57.3279679981299$$
$$x_{40} = 40.0644298452696$$
$$x_{41} = 84.0418781942837$$
$$x_{42} = -91.8953758638005$$
$$x_{43} = -19.6175192917723$$
$$x_{44} = -10.2401969871787$$
$$x_{45} = 21.2234762572363$$
$$x_{46} = 33.7830070040815$$
$$x_{47} = 55.7568547935908$$
$$x_{48} = -41.6343192117396$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{48} = 32.2118410216256$$
$$x_{48} = 98.1711926892522$$
$$x_{48} = 3.85001260629681$$
$$x_{48} = -68.3349166854216$$
$$x_{48} = 88.7539153126948$$
$$x_{48} = 25.9310652736533$$
$$x_{48} = -93.4662189721503$$
$$x_{48} = -99.7491593233474$$
$$x_{48} = -55.7697632665031$$
$$x_{48} = -46.3307535575245$$
$$x_{48} = -24.3626646716484$$
$$x_{48} = -90.3168461111597$$
$$x_{48} = 10.1776020095877$$
$$x_{48} = -58.8987933860556$$
$$x_{48} = 47.902006352849$$
$$x_{48} = -71.4662408374233$$
$$x_{48} = 63.6226902513011$$
$$x_{48} = 60.4698740889414$$
$$x_{48} = 66.7535986152474$$
$$x_{48} = -2.13067580133032$$
$$x_{48} = 85.6043008289998$$
$$x_{48} = 41.6177386680328$$
$$x_{48} = 44.7753533776904$$
$$x_{48} = -18.0851778759103$$
$$x_{48} = -33.761447012494$$
$$x_{48} = 16.4727302007172$$
$$x_{48} = 69.9053963676475$$
$$x_{48} = 91.8877644554526$$
$$x_{48} = -77.7498329359853$$
$$x_{48} = 82.471023892213$$
$$x_{48} = -11.8143521031934$$
$$x_{48} = -84.0333637317141$$
$$x_{48} = 19.6517134583601$$
$$x_{48} = 76.1881800544113$$
$$x_{48} = 54.1860259929599$$
$$x_{48} = -62.0522770701914$$
$$x_{48} = 38.4933727819351$$
$$x_{48} = -40.0463343789945$$
$$x_{48} = -27.4757625263428$$
$$x_{48} = -5.57675219474535$$
$$x_{48} = -49.4874244151854$$
Decrece en los intervalos
$$\left[99.7419990458477, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -101.312895578632\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 99.7419990458477$$
$$x_{2} = -73.0467797410831$$
$$x_{3} = 32.2118410216256$$
$$x_{4} = 98.1711926892522$$
$$x_{5} = 87.175110314276$$
$$x_{6} = 3.85001260629681$$
$$x_{7} = -68.3349166854216$$
$$x_{8} = 88.7539153126948$$
$$x_{9} = 25.9310652736533$$
$$x_{10} = 18.0438521980464$$
$$x_{11} = -93.4662189721503$$
$$x_{12} = 46.3463434318812$$
$$x_{13} = 2.56712923422766$$
$$x_{14} = -85.6124642984728$$
$$x_{15} = 62.0406965750331$$
$$x_{16} = 24.332423120483$$
$$x_{17} = -13.3265061115379$$
$$x_{18} = -101.312895578632$$
$$x_{19} = -99.7491593233474$$
$$x_{20} = 14.9483714808076$$
$$x_{21} = -55.7697632665031$$
$$x_{22} = -46.3307535575245$$
$$x_{23} = -24.3626646716484$$
$$x_{24} = -90.3168461111597$$
$$x_{25} = 27.5024260342423$$
$$x_{26} = 10.1776020095877$$
$$x_{27} = 90.324761762103$$
$$x_{28} = -58.8987933860556$$
$$x_{29} = -47.9164585651064$$
$$x_{30} = -79.3295953315622$$
$$x_{31} = 52.6285679625283$$
$$x_{32} = -54.198833966284$$
$$x_{33} = 68.3244164639694$$
$$x_{34} = -76.1790200326919$$
$$x_{35} = 47.902006352849$$
$$x_{36} = -32.1905606436455$$
$$x_{37} = -71.4662408374233$$
$$x_{38} = 63.6226902513011$$
$$x_{39} = 60.4698740889414$$
$$x_{40} = 66.7535986152474$$
$$x_{41} = -2.13067580133032$$
$$x_{42} = 85.6043008289998$$
$$x_{43} = -35.3525364833027$$
$$x_{44} = 96.607685110741$$
$$x_{45} = 77.7590442103579$$
$$x_{46} = 41.6177386680328$$
$$x_{47} = 74.6080455260241$$
$$x_{48} = -3.98681928796427$$
$$x_{49} = -16.513030008333$$
$$x_{50} = -60.4813736568235$$
$$x_{51} = -38.4754744655075$$
$$x_{52} = 44.7753533776904$$
$$x_{53} = -18.0851778759103$$
$$x_{54} = 11.749189496695$$
$$x_{55} = 49.4728440629637$$
$$x_{56} = 30.6187357438602$$
$$x_{57} = -33.761447012494$$
$$x_{58} = -82.4625532350532$$
$$x_{59} = 16.4727302007172$$
$$x_{60} = 8.68648208448696$$
$$x_{61} = 69.9053963676475$$
$$x_{62} = 91.8877644554526$$
$$x_{63} = -77.7498329359853$$
$$x_{64} = -63.6117495328543$$
$$x_{65} = -98.1783219676962$$
$$x_{66} = 82.471023892213$$
$$x_{67} = -25.9048290054831$$
$$x_{68} = -69.8954248581046$$
$$x_{69} = -11.8143521031934$$
$$x_{70} = -84.0333637317141$$
$$x_{71} = 19.6517134583601$$
$$x_{72} = 76.1881800544113$$
$$x_{73} = 54.1860259929599$$
$$x_{74} = -57.3279679981299$$
$$x_{75} = 40.0644298452696$$
$$x_{76} = -62.0522770701914$$
$$x_{77} = 84.0418781942837$$
$$x_{78} = -91.8953758638005$$
$$x_{79} = -19.6175192917723$$
$$x_{80} = -10.2401969871787$$
$$x_{81} = 38.4933727819351$$
$$x_{82} = -40.0463343789945$$
$$x_{83} = -27.4757625263428$$
$$x_{84} = 21.2234762572363$$
$$x_{85} = -5.57675219474535$$
$$x_{86} = 33.7830070040815$$
$$x_{87} = -49.4874244151854$$
$$x_{88} = 55.7568547935908$$
$$x_{89} = -41.6343192117396$$
Signos de extremos en los puntos:
(99.74199904584772, -0.507101877526608)
(-73.04677974108306, -0.50970350029114)
(32.211841021625624, 0.522070810306895)
(98.17119268925221, 0.492810222577976)
(87.17511031427604, -0.508127717794129)
(3.850012606296813, 0.325090574980932)
(-68.33491668542165, 0.489679237705795)
(88.75391531269483, 0.507982852358318)
(25.931065273653296, 0.527451828429328)
(18.043852198046437, -0.539563585032893)
(-93.46621897215027, 0.492448988717687)
(46.34634343188121, -0.484801601228376)
(2.567129234227656, -0.244492453503024)
(-85.61246429847283, -0.508276372487363)
(62.04069657503307, -0.511429749881567)
(24.33242312048298, -0.529268008699976)
(-13.32650611153789, -0.447658985487824)
(-101.312895578632, -0.493032784476654)
(-99.74915932334744, 0.492923756845848)
(14.948371480807644, -0.453267254274058)
(-55.76976326650306, 0.48736139804247)
(-46.330753557524496, 0.515319912130201)
(-24.362664671648446, 0.471189156248692)
(-90.31684611115969, 0.507844441663324)
(27.502426034242287, -0.474456491253378)
(10.177602009587668, 0.431762145675311)
(90.32476176210302, -0.492186886486135)
(-58.898793386055644, 0.512041261728104)
(-47.916458565106424, -0.514811095343757)
(-79.32959533156217, -0.508933302128156)
(52.628567962528265, -0.48660962173145)
(-54.19883396628404, -0.51308879388268)
(68.32441646396938, -0.510375887751214)
(-76.17902003269194, -0.490739464229885)
(47.902006352848986, 0.485293329730643)
(-32.19056064364553, -0.478155576504917)
(-71.46624083742331, 0.509918625856057)
(63.62269025130112, 0.511144768330378)
(60.469874088941424, 0.488340838284335)
(66.75359861524741, 0.489435405956341)
(-2.130675801330321, 0.84767393013994)
(85.60430082899981, 0.491756947840546)
(-35.352536483302664, -0.520100530235434)
(96.607685110741, -0.492694077361199)
(77.75904421035786, -0.490927201068322)
(41.61773866803284, 0.483082232198116)
(74.60804552602407, -0.509499967385086)
(-3.9868192879642743, -0.684073538075901)
(-16.513030008333015, -0.54326823177613)
(-60.481373656823465, -0.511725278556819)
(-38.4754744655075, -0.481707048136405)
(44.775353377690394, 0.515854151174197)
(-18.085177875910283, 0.461289964772903)
(11.749189496694992, -0.561055726924816)
(49.47284406296374, -0.514343514404602)
(30.618735743860157, -0.52322559116544)
(-33.76144701249395, 0.521052639529659)
(-82.46255323505315, -0.491443575188531)
(16.47273020071717, 0.457543198654469)
(8.686482084486963, -0.42030303100789)
(69.90539636764746, 0.510140641252944)
(91.88776445545255, 0.492319528761805)
(-77.74983293598528, 0.509115221602043)
(-63.6117495328543, -0.488915078727891)
(-98.17832196769623, -0.507215190272356)
(82.47102389221304, 0.508592299910972)
(-25.904829005483094, -0.472892245244463)
(-69.89542485810456, -0.489909072466731)
(-11.814352103193382, 0.441065497005272)
(-84.03336373171408, 0.508432220375487)
(19.651713458360113, 0.536299043457173)
(76.18818005441135, 0.509302487508468)
(54.186025992959856, 0.486993223248313)
(-57.32796799812994, -0.487703846867945)
(40.06442984526958, -0.482429278127208)
(-62.0522770701914, 0.488637301311156)
(84.04187819428367, -0.491604026840793)
(-91.89537586380052, -0.507709437413028)
(-19.61751929177225, -0.464285277874493)
(-10.240196987178686, -0.57019266373152)
(38.49337278193511, 0.518453107035899)
(-40.04633437899449, 0.517734429270207)
(-27.475762526342784, 0.52589891133426)
(21.22347625723631, -0.466964407026512)
(-5.57675219474535, 0.377379141004712)
(33.78300700408148, -0.47917974655725)
(-49.48742441518543, 0.485762772198245)
(55.75685479359081, -0.512721912104648)
(-41.63431921173961, -0.517055210664994)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 99.7419990458477$$
$$x_{2} = -73.0467797410831$$
$$x_{3} = 87.175110314276$$
$$x_{4} = 18.0438521980464$$
$$x_{5} = 46.3463434318812$$
$$x_{6} = 2.56712923422766$$
$$x_{7} = -85.6124642984728$$
$$x_{8} = 62.0406965750331$$
$$x_{9} = 24.332423120483$$
$$x_{10} = -13.3265061115379$$
$$x_{11} = -101.312895578632$$
$$x_{12} = 14.9483714808076$$
$$x_{13} = 27.5024260342423$$
$$x_{14} = 90.324761762103$$
$$x_{15} = -47.9164585651064$$
$$x_{16} = -79.3295953315622$$
$$x_{17} = 52.6285679625283$$
$$x_{18} = -54.198833966284$$
$$x_{19} = 68.3244164639694$$
$$x_{20} = -76.1790200326919$$
$$x_{21} = -32.1905606436455$$
$$x_{22} = -35.3525364833027$$
$$x_{23} = 96.607685110741$$
$$x_{24} = 77.7590442103579$$
$$x_{25} = 74.6080455260241$$
$$x_{26} = -3.98681928796427$$
$$x_{27} = -16.513030008333$$
$$x_{28} = -60.4813736568235$$
$$x_{29} = -38.4754744655075$$
$$x_{30} = 11.749189496695$$
$$x_{31} = 49.4728440629637$$
$$x_{32} = 30.6187357438602$$
$$x_{33} = -82.4625532350532$$
$$x_{34} = 8.68648208448696$$
$$x_{35} = -63.6117495328543$$
$$x_{36} = -98.1783219676962$$
$$x_{37} = -25.9048290054831$$
$$x_{38} = -69.8954248581046$$
$$x_{39} = -57.3279679981299$$
$$x_{40} = 40.0644298452696$$
$$x_{41} = 84.0418781942837$$
$$x_{42} = -91.8953758638005$$
$$x_{43} = -19.6175192917723$$
$$x_{44} = -10.2401969871787$$
$$x_{45} = 21.2234762572363$$
$$x_{46} = 33.7830070040815$$
$$x_{47} = 55.7568547935908$$
$$x_{48} = -41.6343192117396$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{48} = 32.2118410216256$$
$$x_{48} = 98.1711926892522$$
$$x_{48} = 3.85001260629681$$
$$x_{48} = -68.3349166854216$$
$$x_{48} = 88.7539153126948$$
$$x_{48} = 25.9310652736533$$
$$x_{48} = -93.4662189721503$$
$$x_{48} = -99.7491593233474$$
$$x_{48} = -55.7697632665031$$
$$x_{48} = -46.3307535575245$$
$$x_{48} = -24.3626646716484$$
$$x_{48} = -90.3168461111597$$
$$x_{48} = 10.1776020095877$$
$$x_{48} = -58.8987933860556$$
$$x_{48} = 47.902006352849$$
$$x_{48} = -71.4662408374233$$
$$x_{48} = 63.6226902513011$$
$$x_{48} = 60.4698740889414$$
$$x_{48} = 66.7535986152474$$
$$x_{48} = -2.13067580133032$$
$$x_{48} = 85.6043008289998$$
$$x_{48} = 41.6177386680328$$
$$x_{48} = 44.7753533776904$$
$$x_{48} = -18.0851778759103$$
$$x_{48} = -33.761447012494$$
$$x_{48} = 16.4727302007172$$
$$x_{48} = 69.9053963676475$$
$$x_{48} = 91.8877644554526$$
$$x_{48} = -77.7498329359853$$
$$x_{48} = 82.471023892213$$
$$x_{48} = -11.8143521031934$$
$$x_{48} = -84.0333637317141$$
$$x_{48} = 19.6517134583601$$
$$x_{48} = 76.1881800544113$$
$$x_{48} = 54.1860259929599$$
$$x_{48} = -62.0522770701914$$
$$x_{48} = 38.4933727819351$$
$$x_{48} = -40.0463343789945$$
$$x_{48} = -27.4757625263428$$
$$x_{48} = -5.57675219474535$$
$$x_{48} = -49.4874244151854$$
Decrece en los intervalos
$$\left[99.7419990458477, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -101.312895578632\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 7.88442929232963$$
$$x_{2} = -28.2737138838286$$
$$x_{3} = 20.4325147671547$$
$$x_{4} = 10.9730743303081$$
$$x_{5} = 58.1237620891116$$
$$x_{6} = 95.8211842535031$$
$$x_{7} = -29.8534810613086$$
$$x_{8} = 50.2652855415559$$
$$x_{9} = -113.097374705754$$
$$x_{10} = 40.8410061030692$$
$$x_{11} = 72.2567271313884$$
$$x_{12} = 29.8367653130457$$
$$x_{13} = 4.66253475152382$$
$$x_{14} = -7.82280840814871$$
$$x_{15} = 92.6742861288831$$
$$x_{16} = 14.1546100707649$$
$$x_{17} = -72.256535595673$$
$$x_{18} = 12.5632637964413$$
$$x_{19} = -36.1352207878682$$
$$x_{20} = -95.81596718939$$
$$x_{21} = -42.4173864799696$$
$$x_{22} = 36.1214023164887$$
$$x_{23} = 23.5513583372631$$
$$x_{24} = -1.53878933985167$$
$$x_{25} = -39.2635470951378$$
$$x_{26} = -20.4081461053582$$
$$x_{27} = -15.7059678328974$$
$$x_{28} = 65.9735610383757$$
$$x_{29} = -67.5479411080063$$
$$x_{30} = 89.538181865255$$
$$x_{31} = 70.6893695435963$$
$$x_{32} = -75.3983119308578$$
$$x_{33} = 94.2477234669647$$
$$x_{34} = -84.8229323577041$$
$$x_{35} = -9.41928491871755$$
$$x_{36} = 1.5993136250525$$
$$x_{37} = -81.681484164907$$
$$x_{38} = -50.2656813371686$$
$$x_{39} = -17.2930960671895$$
$$x_{40} = 64.4065286633492$$
$$x_{41} = -14.1195936914126$$
$$x_{42} = 26.7128637120368$$
$$x_{43} = 32.9942826123341$$
$$x_{44} = 138.230050637516$$
$$x_{45} = 48.6895547861081$$
$$x_{46} = -45.5476086567027$$
$$x_{47} = 45.5585743377964$$
$$x_{48} = -61.2651346630658$$
$$x_{49} = 42.4056102620833$$
$$x_{50} = -94.2478360468486$$
$$x_{51} = -89.5325988671675$$
$$x_{52} = 86.3909047281753$$
$$x_{53} = 67.5405417804748$$
$$x_{54} = -31.4164371806517$$
$$x_{55} = 51.8410967465529$$
$$x_{56} = -87.9646591026442$$
$$x_{57} = -64.398768731319$$
$$x_{58} = 81.681334280098$$
$$x_{59} = 21.9921942038511$$
$$x_{60} = -53.4069006298957$$
$$x_{61} = 59.6904013414879$$
$$x_{62} = -59.690120668484$$
$$x_{63} = 56.5485120917003$$
$$x_{64} = -58.1151641857948$$
$$x_{65} = -65.9733312818357$$
$$x_{66} = -83.2492029338761$$
$$x_{67} = 80.1074925843052$$
$$x_{68} = -73.8308119331286$$
$$x_{69} = -51.8314581335211$$
$$x_{70} = 73.8240418543471$$
$$x_{71} = -23.5725030017546$$
$$x_{72} = 15.7100216526143$$
$$x_{73} = 6.27093391952773$$
$$x_{74} = -80.1137320198302$$
$$x_{75} = -6.29629235503062$$
$$x_{76} = 78.5398976552752$$
$$x_{77} = 100.530915564291$$
$$x_{78} = 43.9820401342304$$
$$x_{79} = 87.9645298653985$$
$$x_{80} = -86.3966906380252$$
$$x_{81} = 34.5579409075542$$
$$x_{82} = -97.3893196796394$$
$$x_{83} = 28.2749648588182$$
$$x_{84} = -182.212388988524$$
$$x_{85} = -21.9901261646274$$
$$x_{86} = -43.9825570956326$$
$$x_{87} = -37.6994659913323$$
$$x_{88} = 37.698762341347$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = - \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = - \frac{1}{3}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[95.8211842535031, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -95.81596718939\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 7.88442929232963$$
$$x_{2} = -28.2737138838286$$
$$x_{3} = 20.4325147671547$$
$$x_{4} = 10.9730743303081$$
$$x_{5} = 58.1237620891116$$
$$x_{6} = 95.8211842535031$$
$$x_{7} = -29.8534810613086$$
$$x_{8} = 50.2652855415559$$
$$x_{9} = -113.097374705754$$
$$x_{10} = 40.8410061030692$$
$$x_{11} = 72.2567271313884$$
$$x_{12} = 29.8367653130457$$
$$x_{13} = 4.66253475152382$$
$$x_{14} = -7.82280840814871$$
$$x_{15} = 92.6742861288831$$
$$x_{16} = 14.1546100707649$$
$$x_{17} = -72.256535595673$$
$$x_{18} = 12.5632637964413$$
$$x_{19} = -36.1352207878682$$
$$x_{20} = -95.81596718939$$
$$x_{21} = -42.4173864799696$$
$$x_{22} = 36.1214023164887$$
$$x_{23} = 23.5513583372631$$
$$x_{24} = -1.53878933985167$$
$$x_{25} = -39.2635470951378$$
$$x_{26} = -20.4081461053582$$
$$x_{27} = -15.7059678328974$$
$$x_{28} = 65.9735610383757$$
$$x_{29} = -67.5479411080063$$
$$x_{30} = 89.538181865255$$
$$x_{31} = 70.6893695435963$$
$$x_{32} = -75.3983119308578$$
$$x_{33} = 94.2477234669647$$
$$x_{34} = -84.8229323577041$$
$$x_{35} = -9.41928491871755$$
$$x_{36} = 1.5993136250525$$
$$x_{37} = -81.681484164907$$
$$x_{38} = -50.2656813371686$$
$$x_{39} = -17.2930960671895$$
$$x_{40} = 64.4065286633492$$
$$x_{41} = -14.1195936914126$$
$$x_{42} = 26.7128637120368$$
$$x_{43} = 32.9942826123341$$
$$x_{44} = 138.230050637516$$
$$x_{45} = 48.6895547861081$$
$$x_{46} = -45.5476086567027$$
$$x_{47} = 45.5585743377964$$
$$x_{48} = -61.2651346630658$$
$$x_{49} = 42.4056102620833$$
$$x_{50} = -94.2478360468486$$
$$x_{51} = -89.5325988671675$$
$$x_{52} = 86.3909047281753$$
$$x_{53} = 67.5405417804748$$
$$x_{54} = -31.4164371806517$$
$$x_{55} = 51.8410967465529$$
$$x_{56} = -87.9646591026442$$
$$x_{57} = -64.398768731319$$
$$x_{58} = 81.681334280098$$
$$x_{59} = 21.9921942038511$$
$$x_{60} = -53.4069006298957$$
$$x_{61} = 59.6904013414879$$
$$x_{62} = -59.690120668484$$
$$x_{63} = 56.5485120917003$$
$$x_{64} = -58.1151641857948$$
$$x_{65} = -65.9733312818357$$
$$x_{66} = -83.2492029338761$$
$$x_{67} = 80.1074925843052$$
$$x_{68} = -73.8308119331286$$
$$x_{69} = -51.8314581335211$$
$$x_{70} = 73.8240418543471$$
$$x_{71} = -23.5725030017546$$
$$x_{72} = 15.7100216526143$$
$$x_{73} = 6.27093391952773$$
$$x_{74} = -80.1137320198302$$
$$x_{75} = -6.29629235503062$$
$$x_{76} = 78.5398976552752$$
$$x_{77} = 100.530915564291$$
$$x_{78} = 43.9820401342304$$
$$x_{79} = 87.9645298653985$$
$$x_{80} = -86.3966906380252$$
$$x_{81} = 34.5579409075542$$
$$x_{82} = -97.3893196796394$$
$$x_{83} = 28.2749648588182$$
$$x_{84} = -182.212388988524$$
$$x_{85} = -21.9901261646274$$
$$x_{86} = -43.9825570956326$$
$$x_{87} = -37.6994659913323$$
$$x_{88} = 37.698762341347$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = - \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = - \frac{1}{3}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[95.8211842535031, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -95.81596718939\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)/x + sin(x)*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} = - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$$
- No
$$\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} = - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$$
- No
$$\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar