Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3+3*x^2+2
-
-sqrt(3*x+1)
-
x*(-1-log(x))
-
x+1/(x-1)^2
-
Expresiones idénticas
- ((uno -x)/ dos)^ dos ((uno +x)/ dos)^ dos
- ((1 menos x) dividir por 2) al cuadrado ((1 más x) dividir por 2) al cuadrado
- ((uno menos x) dividir por dos) en el grado dos ((uno más x) dividir por dos) en el grado dos
- ((1-x)/2)2((1+x)/2)2
- 1-x/221+x/22
- ((1-x)/2)²((1+x)/2)²
- ((1-x)/2) en el grado 2((1+x)/2) en el grado 2
- 1-x/2^21+x/2^2
- ((1-x) dividir por 2)^2((1+x) dividir por 2)^2
-
Expresiones semejantes
- ((1-x)/2)^2((1-x)/2)^2
- ((1+x)/2)^2((1+x)/2)^2
Gráfico de la función y = ((1-x)/2)^2((1+x)/2)^2
Solución
Ha introducido
[src]
2 2
/1 - x\ /1 + x\
f(x) = |-----| *|-----|
\ 2 / \ 2 /
$$f{\left(x \right)} = \left(\frac{1 - x}{2}\right)^{2} \left(\frac{x + 1}{2}\right)^{2}$$
f = ((1 - x)/2)^2*((x + 1)/2)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\frac{1 - x}{2}\right)^{2} \left(\frac{x + 1}{2}\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\frac{1 - x}{2}\right)^{2} \left(\frac{x + 1}{2}\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\left(1 - x\right) \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{4}}{2} + \frac{\frac{\left(1 - x\right)^{2}}{4} \left(x + 1\right)}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-1, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, 1\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\left(1 - x\right) \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{4}}{2} + \frac{\frac{\left(1 - x\right)^{2}}{4} \left(x + 1\right)}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 0)
(0, 1/16)
(1, 0)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-1, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, 1\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(x - 1\right)^{2} + 4 \left(x - 1\right) \left(x + 1\right) + \left(x + 1\right)^{2}}{8} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(x - 1\right)^{2} + 4 \left(x - 1\right) \left(x + 1\right) + \left(x + 1\right)^{2}}{8} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{1 - x}{2}\right)^{2} \left(\frac{x + 1}{2}\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{1 - x}{2}\right)^{2} \left(\frac{x + 1}{2}\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{1 - x}{2}\right)^{2} \left(\frac{x + 1}{2}\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{1 - x}{2}\right)^{2} \left(\frac{x + 1}{2}\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((1 - x)/2)^2*((1 + x)/2)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\left(1 - x\right)^{2}}{4} \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{4}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\left(1 - x\right)^{2}}{4} \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{4}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\left(1 - x\right)^{2}}{4} \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{4}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\left(1 - x\right)^{2}}{4} \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{4}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\frac{1 - x}{2}\right)^{2} \left(\frac{x + 1}{2}\right)^{2} = \left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)^{2} \left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$$
- No
$$\left(\frac{1 - x}{2}\right)^{2} \left(\frac{x + 1}{2}\right)^{2} = - \left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)^{2} \left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(\frac{1 - x}{2}\right)^{2} \left(\frac{x + 1}{2}\right)^{2} = \left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)^{2} \left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$$
- No
$$\left(\frac{1 - x}{2}\right)^{2} \left(\frac{x + 1}{2}\right)^{2} = - \left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)^{2} \left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar