Sr Examen

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y=x^2-|x|-2

Gráfico de la función y = y=x^2-|x|-2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
        2          
f(x) = x  - |x| - 2
f(x)=(x2x)2f{\left(x \right)} = \left(x^{2} - \left|{x}\right|\right) - 2
f = x^2 - |x| - 2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2x)2=0\left(x^{2} - \left|{x}\right|\right) - 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Solución numérica
x1=2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2 - |x| - 2.
2+(020)-2 + \left(0^{2} - \left|{0}\right|\right)
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = -2
Punto:
(0, -2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2xsign(x)=02 x - \operatorname{sign}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(1/2, -9/4)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[12,)\left[\frac{1}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(,12]\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1δ(x))=02 \left(1 - \delta\left(x\right)\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx((x2x)2)=\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} - \left|{x}\right|\right) - 2\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
limx((x2x)2)=\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} - \left|{x}\right|\right) - 2\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2 - |x| - 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx((x2x)2x)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - \left|{x}\right|\right) - 2}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
limx((x2x)2x)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - \left|{x}\right|\right) - 2}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2x)2=(x2x)2\left(x^{2} - \left|{x}\right|\right) - 2 = \left(x^{2} - \left|{x}\right|\right) - 2
- Sí
(x2x)2=(x2+x)+2\left(x^{2} - \left|{x}\right|\right) - 2 = \left(- x^{2} + \left|{x}\right|\right) + 2
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = y=x^2-|x|-2