Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x*sqrt(1-x^2)
-
-x+4
-
(1/3)^x
-
(x^3+x)/(x^2+2*x+3)
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos -6x+ veintiuno)/(x^ dos - nueve)
- (x al cuadrado menos 6x más 21) dividir por (x al cuadrado menos 9)
- (x en el grado dos menos 6x más veintiuno) dividir por (x en el grado dos menos nueve)
- (x2-6x+21)/(x2-9)
- x2-6x+21/x2-9
- (x²-6x+21)/(x²-9)
- (x en el grado 2-6x+21)/(x en el grado 2-9)
- x^2-6x+21/x^2-9
- (x^2-6x+21) dividir por (x^2-9)
-
Expresiones semejantes
- (x^2+6x+21)/(x^2-9)
- (x^2-6x+21)/(x^2+9)
- (x^2-6x-21)/(x^2-9)
Gráfico de la función y = (x^2-6x+21)/(x^2-9)
Solución
Ha introducido
[src]
2
x - 6*x + 21
f(x) = -------------
2
x - 9
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 21}{x^{2} - 9}$$
f = (x^2 - 6*x + 21)/(x^2 - 9)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 21}{x^{2} - 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 21}{x^{2} - 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(\left(x^{2} - 6 x\right) + 21\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} + \frac{2 x - 6}{x^{2} - 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 9$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 9$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1\right] \cup \left[9, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[1, 9\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(\left(x^{2} - 6 x\right) + 21\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} + \frac{2 x - 6}{x^{2} - 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 9$$
Signos de extremos en los puntos:
(1, -2)
(9, 2/3)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 9$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1\right] \cup \left[9, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[1, 9\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{4 x \left(x - 3\right)}{x^{2} - 9} + 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right) \left(x^{2} - 6 x + 21\right)}{x^{2} - 9}\right)}{x^{2} - 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} + 5 + 4 \sqrt[3]{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{4 x \left(x - 3\right)}{x^{2} - 9} + 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right) \left(x^{2} - 6 x + 21\right)}{x^{2} - 9}\right)}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{4 x \left(x - 3\right)}{x^{2} - 9} + 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right) \left(x^{2} - 6 x + 21\right)}{x^{2} - 9}\right)}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -3$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{4 x \left(x - 3\right)}{x^{2} - 9} + 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right) \left(x^{2} - 6 x + 21\right)}{x^{2} - 9}\right)}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{4 x \left(x - 3\right)}{x^{2} - 9} + 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right) \left(x^{2} - 6 x + 21\right)}{x^{2} - 9}\right)}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} + 5 + 4 \sqrt[3]{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} + 5 + 4 \sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{4 x \left(x - 3\right)}{x^{2} - 9} + 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right) \left(x^{2} - 6 x + 21\right)}{x^{2} - 9}\right)}{x^{2} - 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} + 5 + 4 \sqrt[3]{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{4 x \left(x - 3\right)}{x^{2} - 9} + 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right) \left(x^{2} - 6 x + 21\right)}{x^{2} - 9}\right)}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{4 x \left(x - 3\right)}{x^{2} - 9} + 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right) \left(x^{2} - 6 x + 21\right)}{x^{2} - 9}\right)}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -3$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{4 x \left(x - 3\right)}{x^{2} - 9} + 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right) \left(x^{2} - 6 x + 21\right)}{x^{2} - 9}\right)}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{4 x \left(x - 3\right)}{x^{2} - 9} + 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right) \left(x^{2} - 6 x + 21\right)}{x^{2} - 9}\right)}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} + 5 + 4 \sqrt[3]{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} + 5 + 4 \sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 21}{x^{2} - 9}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 21}{x^{2} - 9}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 21}{x^{2} - 9}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 21}{x^{2} - 9}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 6*x + 21)/(x^2 - 9), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 21}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 21}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 21}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 21}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 21}{x^{2} - 9} = \frac{x^{2} + 6 x + 21}{x^{2} - 9}$$
- No
$$\frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 21}{x^{2} - 9} = - \frac{x^{2} + 6 x + 21}{x^{2} - 9}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 21}{x^{2} - 9} = \frac{x^{2} + 6 x + 21}{x^{2} - 9}$$
- No
$$\frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 21}{x^{2} - 9} = - \frac{x^{2} + 6 x + 21}{x^{2} - 9}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico