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Trazado el gráfico de la función/ 7^log7sinx

Gráfico de la función y = 7^log7sinx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        log(7*sin(x))
f(x) = 7
f(x)=7log⁡(7sin⁡(x))f{\left(x \right)} = 7^{\log{\left(7 \sin{\left(x \right)} \right)}} 
f = 7^log(7*sin(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010050
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
7log⁡(7sin⁡(x))=07^{\log{\left(7 \sin{\left(x \right)} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 7^log(7*sin(x)).
7log⁡(7sin⁡(0))7^{\log{\left(7 \sin{\left(0 \right)} \right)}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
7log⁡(7sin⁡(x))log⁡(7)cos⁡(x)sin⁡(x)=0\frac{7^{\log{\left(7 \sin{\left(x \right)} \right)}} \log{\left(7 \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi    pi*I + log(7) 
(----, 7             )
  2                   

 pi   log(7) 
(--, 7      )
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]
Crece en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
7log⁡(7sin⁡(x))(−1−cos⁡2(x)sin⁡2(x)+log⁡(7)cos⁡2(x)sin⁡2(x))log⁡(7)=07^{\log{\left(7 \sin{\left(x \right)} \right)}} \left(-1 - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\log{\left(7 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \log{\left(7 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2atan⁡(1+log⁡(7)+2log⁡(7)−1+log⁡(7))x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{1 + \log{\left(7 \right)} + 2 \sqrt{\log{\left(7 \right)}}}}{\sqrt{-1 + \log{\left(7 \right)}}} \right)}
x2=2atan⁡(1+log⁡(7)+2log⁡(7)−1+log⁡(7))x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{1 + \log{\left(7 \right)} + 2 \sqrt{\log{\left(7 \right)}}}}{\sqrt{-1 + \log{\left(7 \right)}}} \right)}
x3=−2atan⁡(−2log⁡(7)+1+log⁡(7)−1+log⁡(7))x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 2 \sqrt{\log{\left(7 \right)}} + 1 + \log{\left(7 \right)}}}{\sqrt{-1 + \log{\left(7 \right)}}} \right)}
x4=2atan⁡(−2log⁡(7)+1+log⁡(7)−1+log⁡(7))x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 2 \sqrt{\log{\left(7 \right)}} + 1 + \log{\left(7 \right)}}}{\sqrt{-1 + \log{\left(7 \right)}}} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(1+log⁡(7)+2log⁡(7)−1+log⁡(7))]∪[2atan⁡(1+log⁡(7)+2log⁡(7)−1+log⁡(7)),∞)\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{1 + \log{\left(7 \right)} + 2 \sqrt{\log{\left(7 \right)}}}}{\sqrt{-1 + \log{\left(7 \right)}}} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{1 + \log{\left(7 \right)} + 2 \sqrt{\log{\left(7 \right)}}}}{\sqrt{-1 + \log{\left(7 \right)}}} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[2atan⁡(−2log⁡(7)+1+log⁡(7)−1+log⁡(7)),2atan⁡(1+log⁡(7)+2log⁡(7)−1+log⁡(7))]\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 2 \sqrt{\log{\left(7 \right)}} + 1 + \log{\left(7 \right)}}}{\sqrt{-1 + \log{\left(7 \right)}}} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{1 + \log{\left(7 \right)} + 2 \sqrt{\log{\left(7 \right)}}}}{\sqrt{-1 + \log{\left(7 \right)}}} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞7log⁡(7sin⁡(x))=7log⁡(⟨−7,7⟩)\lim_{x \to -\infty} 7^{\log{\left(7 \sin{\left(x \right)} \right)}} = 7^{\log{\left(\left\langle -7, 7\right\rangle \right)}}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=7log⁡(⟨−7,7⟩)y = 7^{\log{\left(\left\langle -7, 7\right\rangle \right)}}
lim⁡x→∞7log⁡(7sin⁡(x))=7log⁡(⟨−7,7⟩)\lim_{x \to \infty} 7^{\log{\left(7 \sin{\left(x \right)} \right)}} = 7^{\log{\left(\left\langle -7, 7\right\rangle \right)}}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=7log⁡(⟨−7,7⟩)y = 7^{\log{\left(\left\langle -7, 7\right\rangle \right)}}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 7^log(7*sin(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(7log⁡(7sin⁡(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{7^{\log{\left(7 \sin{\left(x \right)} \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(7log⁡(7sin⁡(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{7^{\log{\left(7 \sin{\left(x \right)} \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
7log⁡(7sin⁡(x))=7log⁡(−7sin⁡(x))7^{\log{\left(7 \sin{\left(x \right)} \right)}} = 7^{\log{\left(- 7 \sin{\left(x \right)} \right)}}
- No
7log⁡(7sin⁡(x))=−7log⁡(−7sin⁡(x))7^{\log{\left(7 \sin{\left(x \right)} \right)}} = - 7^{\log{\left(- 7 \sin{\left(x \right)} \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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