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Trazado el gráfico de la función/ xarctgx-1/2ln(1+x^2)+pi/4x-3

Gráfico de la función y = xarctgx-1/2ln(1+x^2)+pi/4x-3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                      /     2\           
                   log\1 + x /   pi      
f(x) = x*atan(x) - ----------- + --*x - 3
                        2        4
f(x)=(xπ4+(xatan⁡(x)−log⁡(x2+1)2))−3f{\left(x \right)} = \left(x \frac{\pi}{4} + \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}\right)\right) - 3 
f = x*(pi/4) + x*atan(x) - log(x^2 + 1)/2 - 3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2525
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(xπ4+(xatan⁡(x)−log⁡(x2+1)2))−3=0\left(x \frac{\pi}{4} + \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}\right)\right) - 3 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−7.69459225015006x_{1} = -7.69459225015006
x2=2.01036406666765x_{2} = 2.01036406666765
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*atan(x) - log(1 + x^2)/2 + (pi/4)*x - 3.
−3+((0atan⁡(0)−log⁡(02+1)2)+0π4)-3 + \left(\left(0 \operatorname{atan}{\left(0 \right)} - \frac{\log{\left(0^{2} + 1 \right)}}{2}\right) + 0 \frac{\pi}{4}\right)
Resultado:
f(0)=−3f{\left(0 \right)} = -3
Punto:
(0, -3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
atan⁡(x)+π4=0\operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
Signos de extremos en los puntos:
          log(2) 
(-1, -3 - ------)
            2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−1,∞)\left[-1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1]\left(-\infty, -1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
1x2+1=0\frac{1}{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((xπ4+(xatan⁡(x)−log⁡(x2+1)2))−3)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x \frac{\pi}{4} + \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}\right)\right) - 3\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((xπ4+(xatan⁡(x)−log⁡(x2+1)2))−3)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x \frac{\pi}{4} + \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}\right)\right) - 3\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*atan(x) - log(1 + x^2)/2 + (pi/4)*x - 3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((xπ4+(xatan⁡(x)−log⁡(x2+1)2))−3x)=−π2\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x \frac{\pi}{4} + \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}\right)\right) - 3}{x}\right) = - \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−πx2y = - \frac{\pi x}{2}
lim⁡x→∞((xπ4+(xatan⁡(x)−log⁡(x2+1)2))−3x)=π2\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x \frac{\pi}{4} + \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}\right)\right) - 3}{x}\right) = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=πx2y = \frac{\pi x}{2}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(xπ4+(xatan⁡(x)−log⁡(x2+1)2))−3=xatan⁡(x)−πx4−log⁡(x2+1)2−3\left(x \frac{\pi}{4} + \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}\right)\right) - 3 = x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\pi x}{4} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - 3
- No
(xπ4+(xatan⁡(x)−log⁡(x2+1)2))−3=−xatan⁡(x)+πx4+log⁡(x2+1)2+3\left(x \frac{\pi}{4} + \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}\right)\right) - 3 = - x \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\pi x}{4} + \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} + 3
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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