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Trazado el gráfico de la función/ acot(x)-x-1

Gráfico de la función y = acot(x)-x-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = acot(x) - x - 1
f(x)=(−x+acot⁡(x))−1f{\left(x \right)} = \left(- x + \operatorname{acot}{\left(x \right)}\right) - 1 
f = -x + acot(x) - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−x+acot⁡(x))−1=0\left(- x + \operatorname{acot}{\left(x \right)}\right) - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0.289240046593665x_{1} = 0.289240046593665
x2=−1.5677820206561x_{2} = -1.5677820206561
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acot(x) - x - 1.
−1+(−0+acot⁡(0))-1 + \left(- 0 + \operatorname{acot}{\left(0 \right)}\right)
Resultado:
f(0)=−1+π2f{\left(0 \right)} = -1 + \frac{\pi}{2}
Punto:
(0, -1 + pi/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−1−1x2+1=0-1 - \frac{1}{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2x(x2+1)2=0\frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−x+acot⁡(x))−1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- x + \operatorname{acot}{\left(x \right)}\right) - 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−x+acot⁡(x))−1)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- x + \operatorname{acot}{\left(x \right)}\right) - 1\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acot(x) - x - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−x+acot⁡(x))−1x)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x + \operatorname{acot}{\left(x \right)}\right) - 1}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞((−x+acot⁡(x))−1x)=−1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \operatorname{acot}{\left(x \right)}\right) - 1}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−xy = - x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−x+acot⁡(x))−1=x−acot⁡(x)−1\left(- x + \operatorname{acot}{\left(x \right)}\right) - 1 = x - \operatorname{acot}{\left(x \right)} - 1
- No
(−x+acot⁡(x))−1=−x+acot⁡(x)+1\left(- x + \operatorname{acot}{\left(x \right)}\right) - 1 = - x + \operatorname{acot}{\left(x \right)} + 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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