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y=(x^2-2x+1)/(x-1)+3
Trazado el gráfico de la función/ y=(x^2-2x+1)/(x-1)+3

Gráfico de la función y = y=(x^2-2x+1)/(x-1)+3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2              
       x  - 2*x + 1    
f(x) = ------------ + 3
          x - 1
f(x)=3+(x2−2x)+1x−1f{\left(x \right)} = 3 + \frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1}{x - 1} 
f = 3 + (x^2 - 2*x + 1)/(x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3+(x2−2x)+1x−1=03 + \frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
Solución numérica
x1=−2x_{1} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 2*x + 1)/(x - 1) + 3.
(02−0)+1−1+3\frac{\left(0^{2} - 0\right) + 1}{-1} + 3
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x−2x−1−(x2−2x)+1(x−1)2=0\frac{2 x - 2}{x - 1} - \frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−1+x2−2x+1(x−1)2)x−1=0\frac{2 \left(-1 + \frac{x^{2} - 2 x + 1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3+(x2−2x)+1x−1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(3 + \frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1}{x - 1}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(3+(x2−2x)+1x−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(3 + \frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1}{x - 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 2*x + 1)/(x - 1) + 3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3+(x2−2x)+1x−1x)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 + \frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1}{x - 1}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(3+(x2−2x)+1x−1x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1}{x - 1}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3+(x2−2x)+1x−1=3+x2+2x+1−x−13 + \frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1}{x - 1} = 3 + \frac{x^{2} + 2 x + 1}{- x - 1}
- No
3+(x2−2x)+1x−1=−3−x2+2x+1−x−13 + \frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1}{x - 1} = -3 - \frac{x^{2} + 2 x + 1}{- x - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=(x^2-2x+1)/(x-1)+3
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