Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{- 40 x + \left(2 x - 5\right) \left(\left(10 x - 3\right) \left(\frac{5}{5 x + 2} + \frac{1}{x - 1}\right) - 10 + \frac{5 \left(10 x - 3\right)}{5 x + 2} + \frac{10 x - 3}{x - 1}\right) + 12}{\left(x - 1\right)^{2} \left(5 x + 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\sqrt[3]{6525}}{10} + \frac{\sqrt[3]{12615}}{10} + \frac{5}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -0.4$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -0.4^-}\left(\frac{- 40 x + \left(2 x - 5\right) \left(\left(10 x - 3\right) \left(\frac{5}{5 x + 2} + \frac{1}{x - 1}\right) - 10 + \frac{5 \left(10 x - 3\right)}{5 x + 2} + \frac{10 x - 3}{x - 1}\right) + 12}{\left(x - 1\right)^{2} \left(5 x + 2\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -0.4^+}\left(\frac{- 40 x + \left(2 x - 5\right) \left(\left(10 x - 3\right) \left(\frac{5}{5 x + 2} + \frac{1}{x - 1}\right) - 10 + \frac{5 \left(10 x - 3\right)}{5 x + 2} + \frac{10 x - 3}{x - 1}\right) + 12}{\left(x - 1\right)^{2} \left(5 x + 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -0.4$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- 40 x + \left(2 x - 5\right) \left(\left(10 x - 3\right) \left(\frac{5}{5 x + 2} + \frac{1}{x - 1}\right) - 10 + \frac{5 \left(10 x - 3\right)}{5 x + 2} + \frac{10 x - 3}{x - 1}\right) + 12}{\left(x - 1\right)^{2} \left(5 x + 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- 40 x + \left(2 x - 5\right) \left(\left(10 x - 3\right) \left(\frac{5}{5 x + 2} + \frac{1}{x - 1}\right) - 10 + \frac{5 \left(10 x - 3\right)}{5 x + 2} + \frac{10 x - 3}{x - 1}\right) + 12}{\left(x - 1\right)^{2} \left(5 x + 2\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{\sqrt[3]{6525}}{10} + \frac{\sqrt[3]{12615}}{10} + \frac{5}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\sqrt[3]{6525}}{10} + \frac{\sqrt[3]{12615}}{10} + \frac{5}{2}\right]$$