Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-2)^2-9
-
5*x^2-1
-
4/(x^2+2x-3)
-
5*x+5
-
Expresiones idénticas
- (2x- cinco)/((cinco x-5)(x+ cero . cuatro))
- (2x menos 5) dividir por ((5x menos 5)(x más 0.4))
- (2x menos cinco) dividir por ((cinco x menos 5)(x más cero . cuatro))
- 2x-5/5x-5x+0.4
- (2x-5) dividir por ((5x-5)(x+0.4))
-
Expresiones semejantes
- (2x-5)/((5x-5)(x-0.4))
- (2x+5)/((5x-5)(x+0.4))
- (2x-5)/((5x+5)(x+0.4))
Gráfico de la función y = (2x-5)/((5x-5)(x+0.4))
Solución
Ha introducido
[src]
2*x - 5
f(x) = -------------------
(5*x - 5)*(x + 2/5)
$$f{\left(x \right)} = \frac{2 x - 5}{\left(x + \frac{2}{5}\right) \left(5 x - 5\right)}$$
f = (2*x - 5)/(((x + 2/5)*(5*x - 5)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -0.4$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -0.4$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 x - 5}{\left(x + \frac{2}{5}\right) \left(5 x - 5\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2.5$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 x - 5}{\left(x + \frac{2}{5}\right) \left(5 x - 5\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2.5$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(3 - 10 x\right) \left(2 x - 5\right)}{\left(x + \frac{2}{5}\right)^{2} \left(5 x - 5\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x + \frac{2}{5}\right) \left(5 x - 5\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{435}}{10}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{435}}{10} + \frac{5}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{435}}{10}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{435}}{10} + \frac{5}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{435}}{10}, \frac{\sqrt{435}}{10} + \frac{5}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{435}}{10}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{435}}{10} + \frac{5}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(3 - 10 x\right) \left(2 x - 5\right)}{\left(x + \frac{2}{5}\right)^{2} \left(5 x - 5\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x + \frac{2}{5}\right) \left(5 x - 5\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{435}}{10}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{435}}{10} + \frac{5}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
_____ _____
5 \/ 435 -\/ 435
(- - -------, -------------------------------)
2 10 / _____\ / _____\
|15 \/ 435 | |29 \/ 435 |
5*|-- - -------|*|-- - -------|
\2 2 / \10 10 / _____ _____
5 \/ 435 \/ 435
(- + -------, -------------------------------)
2 10 / _____\ / _____\
|15 \/ 435 | |29 \/ 435 |
5*|-- + -------|*|-- + -------|
\2 2 / \10 10 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{435}}{10}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{435}}{10} + \frac{5}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{435}}{10}, \frac{\sqrt{435}}{10} + \frac{5}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{435}}{10}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{435}}{10} + \frac{5}{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- 40 x + \left(2 x - 5\right) \left(\left(10 x - 3\right) \left(\frac{5}{5 x + 2} + \frac{1}{x - 1}\right) - 10 + \frac{5 \left(10 x - 3\right)}{5 x + 2} + \frac{10 x - 3}{x - 1}\right) + 12}{\left(x - 1\right)^{2} \left(5 x + 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\sqrt[3]{6525}}{10} + \frac{\sqrt[3]{12615}}{10} + \frac{5}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -0.4$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -0.4^-}\left(\frac{- 40 x + \left(2 x - 5\right) \left(\left(10 x - 3\right) \left(\frac{5}{5 x + 2} + \frac{1}{x - 1}\right) - 10 + \frac{5 \left(10 x - 3\right)}{5 x + 2} + \frac{10 x - 3}{x - 1}\right) + 12}{\left(x - 1\right)^{2} \left(5 x + 2\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -0.4^+}\left(\frac{- 40 x + \left(2 x - 5\right) \left(\left(10 x - 3\right) \left(\frac{5}{5 x + 2} + \frac{1}{x - 1}\right) - 10 + \frac{5 \left(10 x - 3\right)}{5 x + 2} + \frac{10 x - 3}{x - 1}\right) + 12}{\left(x - 1\right)^{2} \left(5 x + 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -0.4$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- 40 x + \left(2 x - 5\right) \left(\left(10 x - 3\right) \left(\frac{5}{5 x + 2} + \frac{1}{x - 1}\right) - 10 + \frac{5 \left(10 x - 3\right)}{5 x + 2} + \frac{10 x - 3}{x - 1}\right) + 12}{\left(x - 1\right)^{2} \left(5 x + 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- 40 x + \left(2 x - 5\right) \left(\left(10 x - 3\right) \left(\frac{5}{5 x + 2} + \frac{1}{x - 1}\right) - 10 + \frac{5 \left(10 x - 3\right)}{5 x + 2} + \frac{10 x - 3}{x - 1}\right) + 12}{\left(x - 1\right)^{2} \left(5 x + 2\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{\sqrt[3]{6525}}{10} + \frac{\sqrt[3]{12615}}{10} + \frac{5}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\sqrt[3]{6525}}{10} + \frac{\sqrt[3]{12615}}{10} + \frac{5}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- 40 x + \left(2 x - 5\right) \left(\left(10 x - 3\right) \left(\frac{5}{5 x + 2} + \frac{1}{x - 1}\right) - 10 + \frac{5 \left(10 x - 3\right)}{5 x + 2} + \frac{10 x - 3}{x - 1}\right) + 12}{\left(x - 1\right)^{2} \left(5 x + 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\sqrt[3]{6525}}{10} + \frac{\sqrt[3]{12615}}{10} + \frac{5}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -0.4$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -0.4^-}\left(\frac{- 40 x + \left(2 x - 5\right) \left(\left(10 x - 3\right) \left(\frac{5}{5 x + 2} + \frac{1}{x - 1}\right) - 10 + \frac{5 \left(10 x - 3\right)}{5 x + 2} + \frac{10 x - 3}{x - 1}\right) + 12}{\left(x - 1\right)^{2} \left(5 x + 2\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -0.4^+}\left(\frac{- 40 x + \left(2 x - 5\right) \left(\left(10 x - 3\right) \left(\frac{5}{5 x + 2} + \frac{1}{x - 1}\right) - 10 + \frac{5 \left(10 x - 3\right)}{5 x + 2} + \frac{10 x - 3}{x - 1}\right) + 12}{\left(x - 1\right)^{2} \left(5 x + 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -0.4$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- 40 x + \left(2 x - 5\right) \left(\left(10 x - 3\right) \left(\frac{5}{5 x + 2} + \frac{1}{x - 1}\right) - 10 + \frac{5 \left(10 x - 3\right)}{5 x + 2} + \frac{10 x - 3}{x - 1}\right) + 12}{\left(x - 1\right)^{2} \left(5 x + 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- 40 x + \left(2 x - 5\right) \left(\left(10 x - 3\right) \left(\frac{5}{5 x + 2} + \frac{1}{x - 1}\right) - 10 + \frac{5 \left(10 x - 3\right)}{5 x + 2} + \frac{10 x - 3}{x - 1}\right) + 12}{\left(x - 1\right)^{2} \left(5 x + 2\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{\sqrt[3]{6525}}{10} + \frac{\sqrt[3]{12615}}{10} + \frac{5}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\sqrt[3]{6525}}{10} + \frac{\sqrt[3]{12615}}{10} + \frac{5}{2}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -0.4$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -0.4$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x - 5}{\left(x + \frac{2}{5}\right) \left(5 x - 5\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 5}{\left(x + \frac{2}{5}\right) \left(5 x - 5\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x - 5}{\left(x + \frac{2}{5}\right) \left(5 x - 5\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 5}{\left(x + \frac{2}{5}\right) \left(5 x - 5\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x - 5)/(((5*x - 5)*(x + 2/5))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x + \frac{2}{5}\right) \left(5 x - 5\right)} \left(2 x - 5\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x + \frac{2}{5}\right) \left(5 x - 5\right)} \left(2 x - 5\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x + \frac{2}{5}\right) \left(5 x - 5\right)} \left(2 x - 5\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x + \frac{2}{5}\right) \left(5 x - 5\right)} \left(2 x - 5\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 x - 5}{\left(x + \frac{2}{5}\right) \left(5 x - 5\right)} = \frac{- 2 x - 5}{\left(\frac{2}{5} - x\right) \left(- 5 x - 5\right)}$$
- No
$$\frac{2 x - 5}{\left(x + \frac{2}{5}\right) \left(5 x - 5\right)} = - \frac{- 2 x - 5}{\left(\frac{2}{5} - x\right) \left(- 5 x - 5\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 x - 5}{\left(x + \frac{2}{5}\right) \left(5 x - 5\right)} = \frac{- 2 x - 5}{\left(\frac{2}{5} - x\right) \left(- 5 x - 5\right)}$$
- No
$$\frac{2 x - 5}{\left(x + \frac{2}{5}\right) \left(5 x - 5\right)} = - \frac{- 2 x - 5}{\left(\frac{2}{5} - x\right) \left(- 5 x - 5\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico