Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=(x+1)^3
-
2*x^2-6*x
-
y=5x
-
y=4^x
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos - uno)(x^ tres +x)
- (x al cuadrado menos 1)(x al cubo más x)
- (x en el grado dos menos uno)(x en el grado tres más x)
- (x2-1)(x3+x)
- x2-1x3+x
- (x²-1)(x³+x)
- (x en el grado 2-1)(x en el grado 3+x)
- x^2-1x^3+x
-
Expresiones semejantes
- (x^2-1)(x^3-x)
- (x^2+1)(x^3+x)
Gráfico de la función y = (x^2-1)(x^3+x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \ / 3 \ f(x) = \x - 1/*\x + x/
$$f{\left(x \right)} = \left(x^{2} - 1\right) \left(x^{3} + x\right)$$
f = (x^2 - 1)*(x^3 + x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{2} - 1\right) \left(x^{3} + x\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = -1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{2} - 1\right) \left(x^{3} + x\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = -1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x \left(x^{3} + x\right) + \left(x^{2} - 1\right) \left(3 x^{2} + 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}$$
$$x_{2} = \frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}\right] \cup \left[\frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}, \frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x \left(x^{3} + x\right) + \left(x^{2} - 1\right) \left(3 x^{2} + 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}$$
$$x_{2} = \frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}$$
Signos de extremos en los puntos:
3/4 / ___\ / 4 ___ 3/4\ -5 | \/ 5 | | \/ 5 5 | (------, |-1 + -----|*|- ----- - ----|) 5 \ 5 / \ 5 5 /
3/4 / ___\ /4 ___ 3/4\ 5 | \/ 5 | |\/ 5 5 | (----, |-1 + -----|*|----- + ----|) 5 \ 5 / \ 5 5 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}\right] \cup \left[\frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}, \frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$20 x^{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$20 x^{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} - 1\right) \left(x^{3} + x\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} - 1\right) \left(x^{3} + x\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} - 1\right) \left(x^{3} + x\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} - 1\right) \left(x^{3} + x\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 1)*(x^3 + x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 1\right) \left(x^{3} + x\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 1\right) \left(x^{3} + x\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 1\right) \left(x^{3} + x\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 1\right) \left(x^{3} + x\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{2} - 1\right) \left(x^{3} + x\right) = \left(x^{2} - 1\right) \left(- x^{3} - x\right)$$
- No
$$\left(x^{2} - 1\right) \left(x^{3} + x\right) = - \left(x^{2} - 1\right) \left(- x^{3} - x\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{2} - 1\right) \left(x^{3} + x\right) = \left(x^{2} - 1\right) \left(- x^{3} - x\right)$$
- No
$$\left(x^{2} - 1\right) \left(x^{3} + x\right) = - \left(x^{2} - 1\right) \left(- x^{3} - x\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar