Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
y=(x+1)^3
2*x^2-6*x
y=5x
y=4^x
Gráfico de la función y = |z-2|-1/2
Solución
Ha introducido
[src]
f(z) = |z - 2| - 1/2
$$f{\left(z \right)} = \left|{z - 2}\right| - \frac{1}{2}$$
f = |z - 2| - 1/2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Z con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left|{z - 2}\right| - \frac{1}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Z:
Solución analítica
$$z_{1} = \frac{3}{2}$$
$$z_{2} = \frac{5}{2}$$
Solución numérica
$$z_{1} = 1.5$$
$$z_{2} = 2.5$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left|{z - 2}\right| - \frac{1}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Z:
Solución analítica
$$z_{1} = \frac{3}{2}$$
$$z_{2} = \frac{5}{2}$$
Solución numérica
$$z_{1} = 1.5$$
$$z_{2} = 2.5$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} = $$
primera derivada
$$\operatorname{sign}{\left(z - 2 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$z_{1} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$z_{1} = 2$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
$$\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} = $$
primera derivada
$$\operatorname{sign}{\left(z - 2 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$z_{1} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
(2, -1/2)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$z_{1} = 2$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \delta\left(z - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
$$\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \delta\left(z - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con z->+oo y z->-oo
$$\lim_{z \to -\infty}\left(\left|{z - 2}\right| - \frac{1}{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{z \to \infty}\left(\left|{z - 2}\right| - \frac{1}{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{z \to -\infty}\left(\left|{z - 2}\right| - \frac{1}{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{z \to \infty}\left(\left|{z - 2}\right| - \frac{1}{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |z - 2| - 1/2, dividida por z con z->+oo y z ->-oo
$$\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{\left|{z - 2}\right| - \frac{1}{2}}{z}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - z$$
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{\left|{z - 2}\right| - \frac{1}{2}}{z}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = z$$
$$\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{\left|{z - 2}\right| - \frac{1}{2}}{z}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - z$$
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{\left|{z - 2}\right| - \frac{1}{2}}{z}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = z$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-z) и f = -f(-z).
Pues, comprobamos:
$$\left|{z - 2}\right| - \frac{1}{2} = \left|{z + 2}\right| - \frac{1}{2}$$
- No
$$\left|{z - 2}\right| - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \left|{z + 2}\right|$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left|{z - 2}\right| - \frac{1}{2} = \left|{z + 2}\right| - \frac{1}{2}$$
- No
$$\left|{z - 2}\right| - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \left|{z + 2}\right|$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico