Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (3x-2)(4x^3-3)

Gráfico de la función y = (3x-2)(4x^3-3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                 /   3    \
f(x) = (3*x - 2)*\4*x  - 3/
f(x)=(3x−2)(4x3−3)f{\left(x \right)} = \left(3 x - 2\right) \left(4 x^{3} - 3\right) 
f = (3*x - 2)*(4*x^3 - 3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010200000-100000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(3x−2)(4x3−3)=0\left(3 x - 2\right) \left(4 x^{3} - 3\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=23x_{1} = \frac{2}{3}
x2=632x_{2} = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}
Solución numérica
x1=0.90856029641607x_{1} = 0.90856029641607
x2=0.666666666666667x_{2} = 0.666666666666667
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (3*x - 2)*(4*x^3 - 3).
(−3+4⋅03)(−2+0⋅3)\left(-3 + 4 \cdot 0^{3}\right) \left(-2 + 0 \cdot 3\right)
Resultado:
f(0)=6f{\left(0 \right)} = 6
Punto:
(0, 6)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
12x3+12x2(3x−2)−9=012 x^{3} + 12 x^{2} \left(3 x - 2\right) - 9 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1368996+858643+16+8996+858643x_{1} = \frac{1}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{89}}{96} + \frac{85}{864}}} + \frac{1}{6} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{89}}{96} + \frac{85}{864}}
Signos de extremos en los puntos:
                                                   /                                                         3\                                                        
          ______________                           |       /         ______________                         \ | /             ______________                         \ 
         /         ____                            |       |        /         ____                          | | |            /         ____                          | 
 1      /   85   \/ 89               1             |       |1      /   85   \/ 89               1           | | |  3        /   85   \/ 89               1           | 
(- + 3 /   --- + ------  + ----------------------, |-3 + 4*|- + 3 /   --- + ------  + ----------------------| |*|- - + 3*3 /   --- + ------  + ----------------------|)
 6   \/    864     96              ______________  |       |6   \/    864     96              ______________| | |  2     \/    864     96              ______________| 
                                  /         ____   |       |                                 /         ____ | | |                                     /         ____ | 
                                 /   85   \/ 89    |       |                                /   85   \/ 89  | | |                                    /   85   \/ 89  | 
                           36*3 /   --- + ------   |       |                          36*3 /   --- + ------ | | |                              12*3 /   --- + ------ | 
                              \/    864     96     \       \                             \/    864     96   / / \                                 \/    864     96   /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1368996+858643+16+8996+858643x_{1} = \frac{1}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{89}}{96} + \frac{85}{864}}} + \frac{1}{6} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{89}}{96} + \frac{85}{864}}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[1368996+858643+16+8996+858643,∞)\left[\frac{1}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{89}}{96} + \frac{85}{864}}} + \frac{1}{6} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{89}}{96} + \frac{85}{864}}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,1368996+858643+16+8996+858643]\left(-\infty, \frac{1}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{89}}{96} + \frac{85}{864}}} + \frac{1}{6} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{89}}{96} + \frac{85}{864}}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
24x(6x−2)=024 x \left(6 x - 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=13x_{2} = \frac{1}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]∪[13,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{1}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0,13]\left[0, \frac{1}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((3x−2)(4x3−3))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(3 x - 2\right) \left(4 x^{3} - 3\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((3x−2)(4x3−3))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(3 x - 2\right) \left(4 x^{3} - 3\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (3*x - 2)*(4*x^3 - 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((3x−2)(4x3−3)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 x - 2\right) \left(4 x^{3} - 3\right)}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((3x−2)(4x3−3)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x - 2\right) \left(4 x^{3} - 3\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(3x−2)(4x3−3)=(−3x−2)(−4x3−3)\left(3 x - 2\right) \left(4 x^{3} - 3\right) = \left(- 3 x - 2\right) \left(- 4 x^{3} - 3\right)
- No
(3x−2)(4x3−3)=−(−3x−2)(−4x3−3)\left(3 x - 2\right) \left(4 x^{3} - 3\right) = - \left(- 3 x - 2\right) \left(- 4 x^{3} - 3\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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