Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ |x|+|x^2-1|

Gráfico de la función y = |x|+|x^2-1|

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             | 2    |
f(x) = |x| + |x  - 1|
f(x)=∣x∣+∣x2−1∣f{\left(x \right)} = \left|{x}\right| + \left|{x^{2} - 1}\right| 
f = |x| + |x^2 - 1|
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100200
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
∣x∣+∣x2−1∣=0\left|{x}\right| + \left|{x^{2} - 1}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |x| + |x^2 - 1|.
∣0∣+∣−1+02∣\left|{0}\right| + \left|{-1 + 0^{2}}\right|
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2xsign⁡(x2−1)+sign⁡(x)=02 x \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 1 \right)} + \operatorname{sign}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.5x_{1} = 0.5
x2=0x_{2} = 0
x3=−0.5x_{3} = -0.5
Signos de extremos en los puntos:
(0.5, 1.25)

(0, 1)

(-0.5, 1.25)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=0.5x_{1} = 0.5
x1=−0.5x_{1} = -0.5
Decrece en los intervalos
(−∞,−0.5]∪[0,∞)\left(-\infty, -0.5\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[0.5,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[0.5, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(4x2δ(x2−1)+δ(x)+sign⁡(x2−1))=02 \left(4 x^{2} \delta\left(x^{2} - 1\right) + \delta\left(x\right) + \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 1 \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(∣x∣+∣x2−1∣)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left|{x}\right| + \left|{x^{2} - 1}\right|\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(∣x∣+∣x2−1∣)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left|{x}\right| + \left|{x^{2} - 1}\right|\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |x| + |x^2 - 1|, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣x∣+∣x2−1∣x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x}\right| + \left|{x^{2} - 1}\right|}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(∣x∣+∣x2−1∣x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x}\right| + \left|{x^{2} - 1}\right|}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
∣x∣+∣x2−1∣=∣x∣+∣x2−1∣\left|{x}\right| + \left|{x^{2} - 1}\right| = \left|{x}\right| + \left|{x^{2} - 1}\right|
- Sí
∣x∣+∣x2−1∣=−∣x∣−∣x2−1∣\left|{x}\right| + \left|{x^{2} - 1}\right| = - \left|{x}\right| - \left|{x^{2} - 1}\right|
- No
es decir, función
es
par
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