Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x-x^3
-
x^4-2x^2
-
1-x^3
-
x^2/(x-3)
-
Expresiones idénticas
- uno / cuatro x^4- uno /24x^ seis
- 1 dividir por 4x en el grado 4 menos 1 dividir por 24x en el grado 6
- uno dividir por cuatro x en el grado 4 menos uno dividir por 24x en el grado seis
- 1/4x4-1/24x6
- 1/4x⁴-1/24x⁶
- 1 dividir por 4x^4-1 dividir por 24x^6
-
Expresiones semejantes
- 1/4x^4+1/24x^6
Gráfico de la función y = 1/4x^4-1/24x^6
Solución
Ha introducido
[src]
4 6
x x
f(x) = -- - --
4 24
$$f{\left(x \right)} = - \frac{x^{6}}{24} + \frac{x^{4}}{4}$$
f = -x^6/24 + x^4/4
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \frac{x^{6}}{24} + \frac{x^{4}}{4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{6}$$
$$x_{3} = \sqrt{6}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2.44948974278318$$
$$x_{2} = 2.44948974278318$$
$$x_{3} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \frac{x^{6}}{24} + \frac{x^{4}}{4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{6}$$
$$x_{3} = \sqrt{6}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2.44948974278318$$
$$x_{2} = 2.44948974278318$$
$$x_{3} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{x^{5}}{4} + x^{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{x^{5}}{4} + x^{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
(-2, 4/3)
(0, 0)
(2, 4/3)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$x^{2} \left(3 - \frac{5 x^{2}}{4}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$$
$$x_{3} = \frac{2 \sqrt{15}}{5}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, \frac{2 \sqrt{15}}{5}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$x^{2} \left(3 - \frac{5 x^{2}}{4}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$$
$$x_{3} = \frac{2 \sqrt{15}}{5}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, \frac{2 \sqrt{15}}{5}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{x^{6}}{24} + \frac{x^{4}}{4}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{6}}{24} + \frac{x^{4}}{4}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{x^{6}}{24} + \frac{x^{4}}{4}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{6}}{24} + \frac{x^{4}}{4}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4/4 - x^6/24, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{x^{6}}{24} + \frac{x^{4}}{4}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x^{6}}{24} + \frac{x^{4}}{4}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{x^{6}}{24} + \frac{x^{4}}{4}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x^{6}}{24} + \frac{x^{4}}{4}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- \frac{x^{6}}{24} + \frac{x^{4}}{4} = - \frac{x^{6}}{24} + \frac{x^{4}}{4}$$
- Sí
$$- \frac{x^{6}}{24} + \frac{x^{4}}{4} = \frac{x^{6}}{24} - \frac{x^{4}}{4}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$- \frac{x^{6}}{24} + \frac{x^{4}}{4} = - \frac{x^{6}}{24} + \frac{x^{4}}{4}$$
- Sí
$$- \frac{x^{6}}{24} + \frac{x^{4}}{4} = \frac{x^{6}}{24} - \frac{x^{4}}{4}$$
- No
es decir, función
es
par