Sr Examen

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y=(x^4-6x^2+5)

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • x^3/(x^2-1) x^3/(x^2-1)
  • x^3-3*x x^3-3*x
  • -x^2 -x^2
  • x/(x-1) x/(x-1)

  • Expresiones idénticas

  • y=(x^ cuatro -6x^ dos + cinco)
  • y es igual a (x en el grado 4 menos 6x al cuadrado más 5)
  • y es igual a (x en el grado cuatro menos 6x en el grado dos más cinco)
  • y=(x4-6x2+5)
  • y=x4-6x2+5
  • y=(x⁴-6x²+5)
  • y=(x en el grado 4-6x en el grado 2+5)
  • y=x^4-6x^2+5

  • Expresiones semejantes

  • y=(x^4-6x^2-5)
  • y=(x^4+6x^2+5)
Trazado el gráfico de la función/ y=(x^4-6x^2+5)

Gráfico de la función y = y=(x^4-6x^2+5)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        4      2    
f(x) = x  - 6*x  + 5
f(x)=(x4−6x2)+5f{\left(x \right)} = \left(x^{4} - 6 x^{2}\right) + 5 
f = x^4 - 6*x^2 + 5
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1000010000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x4−6x2)+5=0\left(x^{4} - 6 x^{2}\right) + 5 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
x3=−5x_{3} = - \sqrt{5}
x4=5x_{4} = \sqrt{5}
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
x3=−2.23606797749979x_{3} = -2.23606797749979
x4=2.23606797749979x_{4} = 2.23606797749979
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^4 - 6*x^2 + 5.
(04−6⋅02)+5\left(0^{4} - 6 \cdot 0^{2}\right) + 5
Resultado:
f(0)=5f{\left(0 \right)} = 5
Punto:
(0, 5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4x3−12x=04 x^{3} - 12 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−3x_{2} = - \sqrt{3}
x3=3x_{3} = \sqrt{3}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 5)

    ___     
(-\/ 3, -4)

   ___     
(\/ 3, -4)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−3x_{1} = - \sqrt{3}
x2=3x_{2} = \sqrt{3}
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
[−3,0]∪[3,∞)\left[- \sqrt{3}, 0\right] \cup \left[\sqrt{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−3]∪[0,3]\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cup \left[0, \sqrt{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
12(x2−1)=012 \left(x^{2} - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−1]∪[1,∞)\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−1,1]\left[-1, 1\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x4−6x2)+5)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{4} - 6 x^{2}\right) + 5\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x4−6x2)+5)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{4} - 6 x^{2}\right) + 5\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 - 6*x^2 + 5, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x4−6x2)+5x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 6 x^{2}\right) + 5}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x4−6x2)+5x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 6 x^{2}\right) + 5}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x4−6x2)+5=(x4−6x2)+5\left(x^{4} - 6 x^{2}\right) + 5 = \left(x^{4} - 6 x^{2}\right) + 5
- Sí
(x4−6x2)+5=(−x4+6x2)−5\left(x^{4} - 6 x^{2}\right) + 5 = \left(- x^{4} + 6 x^{2}\right) - 5
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = y=(x^4-6x^2+5)
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