Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=(x+1)^3
-
2*x^2-6*x
-
y=5x
-
y=4^x
-
Expresiones idénticas
- (x^ tres - cuatro)(dos +x^ cuatro)
- (x al cubo menos 4)(2 más x en el grado 4)
- (x en el grado tres menos cuatro)(dos más x en el grado cuatro)
- (x3-4)(2+x4)
- x3-42+x4
- (x³-4)(2+x⁴)
- (x en el grado 3-4)(2+x en el grado 4)
- x^3-42+x^4
-
Expresiones semejantes
- (x^3+4)(2+x^4)
- (x^3-4)(2-x^4)
Gráfico de la función y = (x^3-4)(2+x^4)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 3 \ / 4\ f(x) = \x - 4/*\2 + x /
$$f{\left(x \right)} = \left(x^{3} - 4\right) \left(x^{4} + 2\right)$$
f = (x^3 - 4)*(x^4 + 2)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{3} - 4\right) \left(x^{4} + 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2^{\frac{2}{3}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.5874010519682$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{3} - 4\right) \left(x^{4} + 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2^{\frac{2}{3}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.5874010519682$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x^{3} \left(x^{3} - 4\right) + 3 x^{2} \left(x^{4} + 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}} - \frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + \frac{32}{7 \sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}} - \frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + \frac{32}{7 \sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}} - \frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + \frac{32}{7 \sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}} - \frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + \frac{32}{7 \sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}} - \frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + \frac{32}{7 \sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}} - \frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + \frac{32}{7 \sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}} - \frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + \frac{32}{7 \sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}{2}, \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}} - \frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + \frac{32}{7 \sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x^{3} \left(x^{3} - 4\right) + 3 x^{2} \left(x^{4} + 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}} - \frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + \frac{32}{7 \sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}} - \frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + \frac{32}{7 \sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, -8)
/ 3\ / 4\
___________________________________________________________________________________________________________________ | / ___________________________________________________________________________________________________________________\ | | / ___________________________________________________________________________________________________________________\ |
/ _______________ | | / _______________ | | | | / _______________ | |
/ / ___ | | / / ___ | | | | / / ___ | |
/ / 16 10*\/ 2 4 32 | | / / 16 10*\/ 2 4 32 | | | | / / 16 10*\/ 2 4 32 | |
/ - 2*3 / -- + -------- - ---------------------- + ------------------------------------------------------------- | | / - 2*3 / -- + -------- - ---------------------- + ------------------------------------------------------------- | | | | / - 2*3 / -- + -------- - ---------------------- + ------------------------------------------------------------- | |
_________________________________________________ / \/ 49 49 _______________ _________________________________________________ | | _________________________________________________ / \/ 49 49 _______________ _________________________________________________ | | | | _________________________________________________ / \/ 49 49 _______________ _________________________________________________ | |
/ _______________ / / ___ / _______________ | | / _______________ / / ___ / _______________ | | | | / _______________ / / ___ / _______________ | |
/ / ___ / / 16 10*\/ 2 / / ___ | | / / ___ / / 16 10*\/ 2 / / ___ | | | | / / ___ / / 16 10*\/ 2 / / ___ | |
/ / 16 10*\/ 2 4 / 7*3 / -- + -------- / / 16 10*\/ 2 4 | | / / 16 10*\/ 2 4 / 7*3 / -- + -------- / / 16 10*\/ 2 4 | | | | / / 16 10*\/ 2 4 / 7*3 / -- + -------- / / 16 10*\/ 2 4 | |
/ 2*3 / -- + -------- + ---------------------- / \/ 49 49 7* / 2*3 / -- + -------- + ---------------------- | | / 2*3 / -- + -------- + ---------------------- / \/ 49 49 7* / 2*3 / -- + -------- + ---------------------- | | | | / 2*3 / -- + -------- + ---------------------- / \/ 49 49 7* / 2*3 / -- + -------- + ---------------------- | |
/ \/ 49 49 _______________ / / \/ 49 49 _______________ | | / \/ 49 49 _______________ / / \/ 49 49 _______________ | | | | / \/ 49 49 _______________ / / \/ 49 49 _______________ | |
/ / ___ / / / ___ | | / / ___ / / / ___ | | | | / / ___ / / / ___ | |
/ / 16 10*\/ 2 / / / 16 10*\/ 2 | | / / 16 10*\/ 2 / / / 16 10*\/ 2 | | | | / / 16 10*\/ 2 / / / 16 10*\/ 2 | |
/ 7*3 / -- + -------- / / 7*3 / -- + -------- | | / 7*3 / -- + -------- / / 7*3 / -- + -------- | | | | / 7*3 / -- + -------- / / 7*3 / -- + -------- | |
\/ \/ 49 49 \/ \/ \/ 49 49 | |\/ \/ 49 49 \/ \/ \/ 49 49 | | | |\/ \/ 49 49 \/ \/ \/ 49 49 | |
(----------------------------------------------------------- - ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------, |-4 + |----------------------------------------------------------- - ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| |*|2 + |----------------------------------------------------------- - ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| |)
2 2 \ \ 2 2 / / \ \ 2 2 / / / 3\ / 4\
___________________________________________________________________________________________________________________ | / ___________________________________________________________________________________________________________________\ | | / ___________________________________________________________________________________________________________________\ |
/ _______________ | | / _______________ | | | | / _______________ | |
/ / ___ | | / / ___ | | | | / / ___ | |
/ / 16 10*\/ 2 4 32 | | / / 16 10*\/ 2 4 32 | | | | / / 16 10*\/ 2 4 32 | |
/ - 2*3 / -- + -------- - ---------------------- + ------------------------------------------------------------- | | / - 2*3 / -- + -------- - ---------------------- + ------------------------------------------------------------- | | | | / - 2*3 / -- + -------- - ---------------------- + ------------------------------------------------------------- | |
_________________________________________________ / \/ 49 49 _______________ _________________________________________________ | | _________________________________________________ / \/ 49 49 _______________ _________________________________________________ | | | | _________________________________________________ / \/ 49 49 _______________ _________________________________________________ | |
/ _______________ / / ___ / _______________ | | / _______________ / / ___ / _______________ | | | | / _______________ / / ___ / _______________ | |
/ / ___ / / 16 10*\/ 2 / / ___ | | / / ___ / / 16 10*\/ 2 / / ___ | | | | / / ___ / / 16 10*\/ 2 / / ___ | |
/ / 16 10*\/ 2 4 / 7*3 / -- + -------- / / 16 10*\/ 2 4 | | / / 16 10*\/ 2 4 / 7*3 / -- + -------- / / 16 10*\/ 2 4 | | | | / / 16 10*\/ 2 4 / 7*3 / -- + -------- / / 16 10*\/ 2 4 | |
/ 2*3 / -- + -------- + ---------------------- / \/ 49 49 7* / 2*3 / -- + -------- + ---------------------- | | / 2*3 / -- + -------- + ---------------------- / \/ 49 49 7* / 2*3 / -- + -------- + ---------------------- | | | | / 2*3 / -- + -------- + ---------------------- / \/ 49 49 7* / 2*3 / -- + -------- + ---------------------- | |
/ \/ 49 49 _______________ / / \/ 49 49 _______________ | | / \/ 49 49 _______________ / / \/ 49 49 _______________ | | | | / \/ 49 49 _______________ / / \/ 49 49 _______________ | |
/ / ___ / / / ___ | | / / ___ / / / ___ | | | | / / ___ / / / ___ | |
/ / 16 10*\/ 2 / / / 16 10*\/ 2 | | / / 16 10*\/ 2 / / / 16 10*\/ 2 | | | | / / 16 10*\/ 2 / / / 16 10*\/ 2 | |
/ 7*3 / -- + -------- / / 7*3 / -- + -------- | | / 7*3 / -- + -------- / / 7*3 / -- + -------- | | | | / 7*3 / -- + -------- / / 7*3 / -- + -------- | |
\/ \/ 49 49 \/ \/ \/ 49 49 | |\/ \/ 49 49 \/ \/ \/ 49 49 | | | |\/ \/ 49 49 \/ \/ \/ 49 49 | |
(----------------------------------------------------------- + ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------, |-4 + |----------------------------------------------------------- + ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| |*|2 + |----------------------------------------------------------- + ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| |)
2 2 \ \ 2 2 / / \ \ 2 2 / / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}} - \frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + \frac{32}{7 \sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}} - \frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + \frac{32}{7 \sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}} - \frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + \frac{32}{7 \sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}} - \frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + \frac{32}{7 \sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}} - \frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + \frac{32}{7 \sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}{2}, \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}} - \frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + \frac{32}{7 \sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{4}{7 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{2}}{49} + \frac{16}{49}}}}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$6 x \left(5 x^{4} + 2 x \left(x^{3} - 4\right) + 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}} - \frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + \frac{16}{7 \sqrt{\frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}} - \frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + \frac{16}{7 \sqrt{\frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}}}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0, - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}} - \frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + \frac{16}{7 \sqrt{\frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}} - \frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + \frac{16}{7 \sqrt{\frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}}}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[- \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}} - \frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + \frac{16}{7 \sqrt{\frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}}}{2}, \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}} - \frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + \frac{16}{7 \sqrt{\frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}}}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$6 x \left(5 x^{4} + 2 x \left(x^{3} - 4\right) + 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}} - \frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + \frac{16}{7 \sqrt{\frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}} - \frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + \frac{16}{7 \sqrt{\frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}}}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0, - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}} - \frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + \frac{16}{7 \sqrt{\frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}} - \frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + \frac{16}{7 \sqrt{\frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}}}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[- \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}} - \frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + \frac{16}{7 \sqrt{\frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}}}{2}, \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}} - \frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + \frac{16}{7 \sqrt{\frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{4}{21 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{282}}{441} + \frac{4}{49}}}}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{3} - 4\right) \left(x^{4} + 2\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{3} - 4\right) \left(x^{4} + 2\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{3} - 4\right) \left(x^{4} + 2\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{3} - 4\right) \left(x^{4} + 2\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 - 4)*(2 + x^4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{3} - 4\right) \left(x^{4} + 2\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{3} - 4\right) \left(x^{4} + 2\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{3} - 4\right) \left(x^{4} + 2\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{3} - 4\right) \left(x^{4} + 2\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{3} - 4\right) \left(x^{4} + 2\right) = \left(- x^{3} - 4\right) \left(x^{4} + 2\right)$$
- No
$$\left(x^{3} - 4\right) \left(x^{4} + 2\right) = - \left(- x^{3} - 4\right) \left(x^{4} + 2\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{3} - 4\right) \left(x^{4} + 2\right) = \left(- x^{3} - 4\right) \left(x^{4} + 2\right)$$
- No
$$\left(x^{3} - 4\right) \left(x^{4} + 2\right) = - \left(- x^{3} - 4\right) \left(x^{4} + 2\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar