Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=2x
-
2*x^3-3*x
-
3-x^2
-
-1+log(1+x)
-
Expresiones idénticas
- - veinticuatro *x^ seis /(ocho *x^ tres - uno)^ dos + cuatro *x^ tres /(ocho *x^ tres - uno)
- menos 24 multiplicar por x en el grado 6 dividir por (8 multiplicar por x al cubo menos 1) al cuadrado más 4 multiplicar por x al cubo dividir por (8 multiplicar por x al cubo menos 1)
- menos veinticuatro multiplicar por x en el grado seis dividir por (ocho multiplicar por x en el grado tres menos uno) en el grado dos más cuatro multiplicar por x en el grado tres dividir por (ocho multiplicar por x en el grado tres menos uno)
- -24*x6/(8*x3-1)2+4*x3/(8*x3-1)
- -24*x6/8*x3-12+4*x3/8*x3-1
- -24*x⁶/(8*x³-1)²+4*x³/(8*x³-1)
- -24*x en el grado 6/(8*x en el grado 3-1) en el grado 2+4*x en el grado 3/(8*x en el grado 3-1)
- -24x^6/(8x^3-1)^2+4x^3/(8x^3-1)
- -24x6/(8x3-1)2+4x3/(8x3-1)
- -24x6/8x3-12+4x3/8x3-1
- -24x^6/8x^3-1^2+4x^3/8x^3-1
- -24*x^6 dividir por (8*x^3-1)^2+4*x^3 dividir por (8*x^3-1)
-
Expresiones semejantes
- -24*x^6/(8*x^3+1)^2+4*x^3/(8*x^3-1)
- -24*x^6/(8*x^3-1)^2-4*x^3/(8*x^3-1)
- 24*x^6/(8*x^3-1)^2+4*x^3/(8*x^3-1)
- -24*x^6/(8*x^3-1)^2+4*x^3/(8*x^3+1)
Gráfico de la función y = -24*x^6/(8*x^3-1)^2+4*x^3/(8*x^3-1)
Solución
Ha introducido
[src]
6 3
-24*x 4*x
f(x) = ----------- + --------
2 3
/ 3 \ 8*x - 1
\8*x - 1/
$$f{\left(x \right)} = \frac{4 x^{3}}{8 x^{3} - 1} + \frac{\left(-1\right) 24 x^{6}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{2}}$$
f = (4*x^3)/(8*x^3 - 1) + (-24*x^6)/(8*x^3 - 1)^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0.5$$
$$x_{1} = 0.5$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{4 x^{3}}{8 x^{3} - 1} + \frac{\left(-1\right) 24 x^{6}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0.7937005259841$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{4 x^{3}}{8 x^{3} - 1} + \frac{\left(-1\right) 24 x^{6}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0.7937005259841$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1152 x^{8}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{3}} - \frac{240 x^{5}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{2}} + \frac{12 x^{2}}{8 x^{3} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1152 x^{8}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{3}} - \frac{240 x^{5}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{2}} + \frac{12 x^{2}}{8 x^{3} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
3 ___
-\/ 2
(-------, 1/6)
2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{24 x \left(- \frac{3456 x^{9}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{3}} + \frac{864 x^{6}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{2}} - \frac{62 x^{3}}{8 x^{3} - 1} + 1\right)}{8 x^{3} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -0.827264119991524$$
$$x_{3} = -0.302200946419097$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0.5$$
$$\lim_{x \to 0.5^-}\left(\frac{24 x \left(- \frac{3456 x^{9}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{3}} + \frac{864 x^{6}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{2}} - \frac{62 x^{3}}{8 x^{3} - 1} + 1\right)}{8 x^{3} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0.5^+}\left(\frac{24 x \left(- \frac{3456 x^{9}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{3}} + \frac{864 x^{6}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{2}} - \frac{62 x^{3}}{8 x^{3} - 1} + 1\right)}{8 x^{3} - 1}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -0.827264119991524\right] \cup \left[-0.302200946419097, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -0.302200946419097\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{24 x \left(- \frac{3456 x^{9}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{3}} + \frac{864 x^{6}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{2}} - \frac{62 x^{3}}{8 x^{3} - 1} + 1\right)}{8 x^{3} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -0.827264119991524$$
$$x_{3} = -0.302200946419097$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0.5$$
$$\lim_{x \to 0.5^-}\left(\frac{24 x \left(- \frac{3456 x^{9}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{3}} + \frac{864 x^{6}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{2}} - \frac{62 x^{3}}{8 x^{3} - 1} + 1\right)}{8 x^{3} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0.5^+}\left(\frac{24 x \left(- \frac{3456 x^{9}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{3}} + \frac{864 x^{6}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{2}} - \frac{62 x^{3}}{8 x^{3} - 1} + 1\right)}{8 x^{3} - 1}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -0.827264119991524\right] \cup \left[-0.302200946419097, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -0.302200946419097\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0.5$$
$$x_{1} = 0.5$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x^{3}}{8 x^{3} - 1} + \frac{\left(-1\right) 24 x^{6}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{8}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \frac{1}{8}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3}}{8 x^{3} - 1} + \frac{\left(-1\right) 24 x^{6}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{8}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{1}{8}$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x^{3}}{8 x^{3} - 1} + \frac{\left(-1\right) 24 x^{6}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{8}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \frac{1}{8}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3}}{8 x^{3} - 1} + \frac{\left(-1\right) 24 x^{6}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{8}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{1}{8}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-24*x^6)/(8*x^3 - 1)^2 + (4*x^3)/(8*x^3 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{4 x^{3}}{8 x^{3} - 1} + \frac{\left(-1\right) 24 x^{6}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{4 x^{3}}{8 x^{3} - 1} + \frac{\left(-1\right) 24 x^{6}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{4 x^{3}}{8 x^{3} - 1} + \frac{\left(-1\right) 24 x^{6}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{4 x^{3}}{8 x^{3} - 1} + \frac{\left(-1\right) 24 x^{6}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{4 x^{3}}{8 x^{3} - 1} + \frac{\left(-1\right) 24 x^{6}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{2}} = - \frac{24 x^{6}}{\left(- 8 x^{3} - 1\right)^{2}} - \frac{4 x^{3}}{- 8 x^{3} - 1}$$
- No
$$\frac{4 x^{3}}{8 x^{3} - 1} + \frac{\left(-1\right) 24 x^{6}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{2}} = \frac{24 x^{6}}{\left(- 8 x^{3} - 1\right)^{2}} + \frac{4 x^{3}}{- 8 x^{3} - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{4 x^{3}}{8 x^{3} - 1} + \frac{\left(-1\right) 24 x^{6}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{2}} = - \frac{24 x^{6}}{\left(- 8 x^{3} - 1\right)^{2}} - \frac{4 x^{3}}{- 8 x^{3} - 1}$$
- No
$$\frac{4 x^{3}}{8 x^{3} - 1} + \frac{\left(-1\right) 24 x^{6}}{\left(8 x^{3} - 1\right)^{2}} = \frac{24 x^{6}}{\left(- 8 x^{3} - 1\right)^{2}} + \frac{4 x^{3}}{- 8 x^{3} - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar