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2x^4-8x^2+1

Gráfico de la función y = 2x^4-8x^2+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          4      2    
f(x) = 2*x  - 8*x  + 1
$$f{\left(x \right)} = \left(2 x^{4} - 8 x^{2}\right) + 1$$
f = 2*x^4 - 8*x^2 + 1
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(2 x^{4} - 8 x^{2}\right) + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = - \sqrt{2 - \frac{\sqrt{14}}{2}}$$
$$x_{2} = \sqrt{2 - \frac{\sqrt{14}}{2}}$$
$$x_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{14}}{2} + 2}$$
$$x_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{14}}{2} + 2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.96744217027769$$
$$x_{2} = -0.359404099326968$$
$$x_{3} = 0.359404099326968$$
$$x_{4} = -1.96744217027769$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*x^4 - 8*x^2 + 1.
$$\left(2 \cdot 0^{4} - 8 \cdot 0^{2}\right) + 1$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$8 x^{3} - 16 x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{2}$$
$$x_{3} = \sqrt{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

    ___     
(-\/ 2, -7)

   ___     
(\/ 2, -7)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{2}, 0\right] \cup \left[\sqrt{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{2}\right] \cup \left[0, \sqrt{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$8 \left(3 x^{2} - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(2 x^{4} - 8 x^{2}\right) + 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(2 x^{4} - 8 x^{2}\right) + 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*x^4 - 8*x^2 + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 x^{4} - 8 x^{2}\right) + 1}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x^{4} - 8 x^{2}\right) + 1}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(2 x^{4} - 8 x^{2}\right) + 1 = \left(2 x^{4} - 8 x^{2}\right) + 1$$
- Sí
$$\left(2 x^{4} - 8 x^{2}\right) + 1 = \left(- 2 x^{4} + 8 x^{2}\right) - 1$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = 2x^4-8x^2+1