Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^2-x+5
-
(x+1)*(x-2)^2
-
x*(-1-log(x))
-
-sqrt(1-x^2)
-
Expresiones idénticas
- y=(x^ dos)- cuatro x+ uno /(x-4)
- y es igual a (x al cuadrado ) menos 4x más 1 dividir por (x menos 4)
- y es igual a (x en el grado dos) menos cuatro x más uno dividir por (x menos 4)
- y=(x2)-4x+1/(x-4)
- y=x2-4x+1/x-4
- y=(x²)-4x+1/(x-4)
- y=(x en el grado 2)-4x+1/(x-4)
- y=x^2-4x+1/x-4
- y=(x^2)-4x+1 dividir por (x-4)
-
Expresiones semejantes
- y=(x^2)-4x-1/(x-4)
- y=(x^2)-4x+1/(x+4)
- y=(x^2)+4x+1/(x-4)
Gráfico de la función y = y=(x^2)-4x+1/(x-4)
Solución
Ha introducido
[src]
2 1
f(x) = x - 4*x + -----
x - 4
$$f{\left(x \right)} = \left(x^{2} - 4 x\right) + \frac{1}{x - 4}$$
f = x^2 - 4*x + 1/(x - 4)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{1} = 4$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{2} - 4 x\right) + \frac{1}{x - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{849}}{2} + \frac{155}{2}}}{3} - \frac{16}{3 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{849}}{2} + \frac{155}{2}}} + \frac{8}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.0606470275541425$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{2} - 4 x\right) + \frac{1}{x - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{849}}{2} + \frac{155}{2}}}{3} - \frac{16}{3 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{849}}{2} + \frac{155}{2}}} + \frac{8}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.0606470275541425$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x - 4 - \frac{1}{\left(x - 4\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{10}{3} - \frac{\sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{3 \sqrt{111} i}{4}}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{3 \sqrt{111} i}{4}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{10}{3} - \frac{4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{111}}{5} \right)}}{3} \right)}}{3}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{10}{3} - \frac{4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{111}}{5} \right)}}{3} \right)}}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{10}{3} - \frac{4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{111}}{5} \right)}}{3} \right)}}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x - 4 - \frac{1}{\left(x - 4\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{10}{3} - \frac{\sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{3 \sqrt{111} i}{4}}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{3 \sqrt{111} i}{4}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
2
_________________ / _________________\ _________________
/ _____ | / _____ | / _____
/ 5 3*I*\/ 111 | / 5 3*I*\/ 111 | / 5 3*I*\/ 111
3 / - + ----------- | 3 / - + ----------- | 4*3 / - + -----------
10 4 \/ 4 4 40 1 |10 4 \/ 4 4 | \/ 4 4 16
(-- - ------------------------ - ----------------------, - -- + ------------------------------------------------------- + |-- - ------------------------ - ----------------------| + ------------------------ + ------------------------)
3 _________________ 3 3 _________________ |3 _________________ 3 | 3 _________________
/ _____ / _____ | / _____ | / _____
/ 5 3*I*\/ 111 / 5 3*I*\/ 111 | / 5 3*I*\/ 111 | / 5 3*I*\/ 111
3*3 / - + ----------- 3 / - + ----------- | 3*3 / - + ----------- | 3*3 / - + -----------
\/ 4 4 2 4 \/ 4 4 \ \/ 4 4 / \/ 4 4
- - - ------------------------ - ----------------------
3 _________________ 3
/ _____
/ 5 3*I*\/ 111
3*3 / - + -----------
\/ 4 4 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{10}{3} - \frac{4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{111}}{5} \right)}}{3} \right)}}{3}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{10}{3} - \frac{4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{111}}{5} \right)}}{3} \right)}}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{10}{3} - \frac{4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{111}}{5} \right)}}{3} \right)}}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(1 + \frac{1}{\left(x - 4\right)^{3}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 4$$
$$\lim_{x \to 4^-}\left(2 \left(1 + \frac{1}{\left(x - 4\right)^{3}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 4^+}\left(2 \left(1 + \frac{1}{\left(x - 4\right)^{3}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 4$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 3\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[3, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(1 + \frac{1}{\left(x - 4\right)^{3}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 4$$
$$\lim_{x \to 4^-}\left(2 \left(1 + \frac{1}{\left(x - 4\right)^{3}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 4^+}\left(2 \left(1 + \frac{1}{\left(x - 4\right)^{3}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 4$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 3\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[3, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{1} = 4$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + \frac{1}{x - 4}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + \frac{1}{x - 4}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + \frac{1}{x - 4}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + \frac{1}{x - 4}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2 - 4*x + 1/(x - 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + \frac{1}{x - 4}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + \frac{1}{x - 4}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + \frac{1}{x - 4}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + \frac{1}{x - 4}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{2} - 4 x\right) + \frac{1}{x - 4} = x^{2} + 4 x + \frac{1}{- x - 4}$$
- No
$$\left(x^{2} - 4 x\right) + \frac{1}{x - 4} = - x^{2} - 4 x - \frac{1}{- x - 4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{2} - 4 x\right) + \frac{1}{x - 4} = x^{2} + 4 x + \frac{1}{- x - 4}$$
- No
$$\left(x^{2} - 4 x\right) + \frac{1}{x - 4} = - x^{2} - 4 x - \frac{1}{- x - 4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico