Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
y=(x+1)^3
y=2x
2*x^3-3*x
3-x^2
Gráfico de la función y = 7sin^3t
Solución
Ha introducido
[src]
3 f(t) = 7*sin (t)
$$f{\left(t \right)} = 7 \sin^{3}{\left(t \right)}$$
f = 7*sin(t)^3
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$7 \sin^{3}{\left(t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:
Solución analítica
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = \pi$$
Solución numérica
$$t_{1} = 65.9734548127967$$
$$t_{2} = 43.9823032527788$$
$$t_{3} = 28.2743275366207$$
$$t_{4} = 97.3893978428526$$
$$t_{5} = 31.4158812157011$$
$$t_{6} = 84.823034075932$$
$$t_{7} = 21.9911516417751$$
$$t_{8} = -21.9911516404356$$
$$t_{9} = 9.42474281067687$$
$$t_{10} = 0$$
$$t_{11} = -78.5397992432789$$
$$t_{12} = 100.531002707477$$
$$t_{13} = -40.8407553983808$$
$$t_{14} = 87.9646063100383$$
$$t_{15} = -119.380533126399$$
$$t_{16} = 72.2566292957527$$
$$t_{17} = 53.407020637795$$
$$t_{18} = -15.7079741496884$$
$$t_{19} = 40.8407567654285$$
$$t_{20} = -37.6991249589774$$
$$t_{21} = -87.9646059647861$$
$$t_{22} = -65.9734547037153$$
$$t_{23} = -9.42480464038606$$
$$t_{24} = -56.5486655300491$$
$$t_{25} = 6.2831766827342$$
$$t_{26} = -12.566394491012$$
$$t_{27} = -34.5575306179909$$
$$t_{28} = -15.7079508374868$$
$$t_{29} = 62.8318959401771$$
$$t_{30} = 94.247780189482$$
$$t_{31} = -59.6902757442614$$
$$t_{32} = -43.9823032312938$$
$$t_{33} = 50.2654784091363$$
$$t_{34} = -81.6814265052127$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$7 \sin^{3}{\left(t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:
Solución analítica
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = \pi$$
Solución numérica
$$t_{1} = 65.9734548127967$$
$$t_{2} = 43.9823032527788$$
$$t_{3} = 28.2743275366207$$
$$t_{4} = 97.3893978428526$$
$$t_{5} = 31.4158812157011$$
$$t_{6} = 84.823034075932$$
$$t_{7} = 21.9911516417751$$
$$t_{8} = -21.9911516404356$$
$$t_{9} = 9.42474281067687$$
$$t_{10} = 0$$
$$t_{11} = -78.5397992432789$$
$$t_{12} = 100.531002707477$$
$$t_{13} = -40.8407553983808$$
$$t_{14} = 87.9646063100383$$
$$t_{15} = -119.380533126399$$
$$t_{16} = 72.2566292957527$$
$$t_{17} = 53.407020637795$$
$$t_{18} = -15.7079741496884$$
$$t_{19} = 40.8407567654285$$
$$t_{20} = -37.6991249589774$$
$$t_{21} = -87.9646059647861$$
$$t_{22} = -65.9734547037153$$
$$t_{23} = -9.42480464038606$$
$$t_{24} = -56.5486655300491$$
$$t_{25} = 6.2831766827342$$
$$t_{26} = -12.566394491012$$
$$t_{27} = -34.5575306179909$$
$$t_{28} = -15.7079508374868$$
$$t_{29} = 62.8318959401771$$
$$t_{30} = 94.247780189482$$
$$t_{31} = -59.6902757442614$$
$$t_{32} = -43.9823032312938$$
$$t_{33} = 50.2654784091363$$
$$t_{34} = -81.6814265052127$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
primera derivada
$$21 \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$t_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$t_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$t_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
primera derivada
$$21 \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$t_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
-pi (----, -7) 2
pi (--, 7) 2
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$t_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$t_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
segunda derivada
$$- 21 \left(\sin^{2}{\left(t \right)} - 2 \cos^{2}{\left(t \right)}\right) \sin{\left(t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 - \sqrt{3}} \right)}$$
$$t_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 - \sqrt{3}} \right)}$$
$$t_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
$$t_{5} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
segunda derivada
$$- 21 \left(\sin^{2}{\left(t \right)} - 2 \cos^{2}{\left(t \right)}\right) \sin{\left(t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 - \sqrt{3}} \right)}$$
$$t_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 - \sqrt{3}} \right)}$$
$$t_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
$$t_{5} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(7 \sin^{3}{\left(t \right)}\right) = \left\langle -7, 7\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -7, 7\right\rangle$$
$$\lim_{t \to \infty}\left(7 \sin^{3}{\left(t \right)}\right) = \left\langle -7, 7\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -7, 7\right\rangle$$
$$\lim_{t \to -\infty}\left(7 \sin^{3}{\left(t \right)}\right) = \left\langle -7, 7\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -7, 7\right\rangle$$
$$\lim_{t \to \infty}\left(7 \sin^{3}{\left(t \right)}\right) = \left\langle -7, 7\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -7, 7\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 7*sin(t)^3, dividida por t con t->+oo y t ->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{7 \sin^{3}{\left(t \right)}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{7 \sin^{3}{\left(t \right)}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{7 \sin^{3}{\left(t \right)}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{7 \sin^{3}{\left(t \right)}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
$$7 \sin^{3}{\left(t \right)} = - 7 \sin^{3}{\left(t \right)}$$
- No
$$7 \sin^{3}{\left(t \right)} = 7 \sin^{3}{\left(t \right)}$$
- Sí
es decir, función
es
impar
Pues, comprobamos:
$$7 \sin^{3}{\left(t \right)} = - 7 \sin^{3}{\left(t \right)}$$
- No
$$7 \sin^{3}{\left(t \right)} = 7 \sin^{3}{\left(t \right)}$$
- Sí
es decir, función
es
impar