Sr Examen

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  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • y=(x+1)^3 y=(x+1)^3
  • 2*x^2-6*x 2*x^2-6*x
  • y=5x y=5x
  • y=4^x y=4^x

  • Expresiones idénticas

  • uno / dos sin(x/2+pi/ seis)+ uno
  • 1 dividir por 2 seno de (x dividir por 2 más número pi dividir por 6) más 1
  • uno dividir por dos seno de (x dividir por 2 más número pi dividir por seis) más uno
  • 1/2sinx/2+pi/6+1
  • 1 dividir por 2sin(x dividir por 2+pi dividir por 6)+1

  • Expresiones semejantes

  • 1/2sin(x/2+pi/6)-1
  • 1/2sin(x/2-pi/6)+1
Trazado el gráfico de la función/ 1/2sin(x/2+pi/6)+1

Gráfico de la función y = 1/2sin(x/2+pi/6)+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x   pi\    
       sin|- + --|    
          \2   6 /    
f(x) = ----------- + 1
            2
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)}}{2} + 1$$ 
f = sin(x/2 + pi/6)/2 + 1
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)}}{2} + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x/2 + pi/6)/2 + 1.
$$\frac{\sin{\left(\frac{0}{2} + \frac{\pi}{6} \right)}}{2} + 1$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{5}{4}$$
Punto:
(0, 5/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)}}{4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{8 \pi}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
              /pi   pi\ 
           sin|-- + --| 
 2*pi         \3    6 / 
(----, 1 + ------------)
  3             2       

              /pi   pi\ 
           sin|-- + --| 
 8*pi         \3    6 / 
(----, 1 - ------------)
  3             2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{8 \pi}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[\frac{8 \pi}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{2 \pi}{3}, \frac{8 \pi}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\sin{\left(\frac{3 x + \pi}{6} \right)}}{8} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{3}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)}}{2} + 1\right) = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)}}{2} + 1\right) = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x/2 + pi/6)/2 + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)}}{2} + 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)}}{2} + 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)}}{2} + 1 = 1 - \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} \right)}}{2}$$
- No
$$\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)}}{2} + 1 = \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} \right)}}{2} - 1$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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