Sr Examen

Otras calculadoras

(x/(1+x))^x
Trazado el gráfico de la función/ (x/(1+x))^x

Gráfico de la función y = (x/(1+x))^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              x
       /  x  \ 
f(x) = |-----| 
       \1 + x/
f(x)=(xx+1)xf{\left(x \right)} = \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} 
f = (x/(x + 1))^x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.01.0
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(xx+1)x=0\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x/(1 + x))^x.
(01)0\left(\frac{0}{1}\right)^{0}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(xx+1)x((x+1)(−x(x+1)2+1x+1)+log⁡(xx+1))=0\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} \left(\left(x + 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x + 1}\right) + \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=498325.651292682x_{1} = 498325.651292682
x2=488214.567187414x_{2} = 488214.567187414
x3=−492548.718882352x_{3} = -492548.718882352
x4=−441993.261743492x_{4} = -441993.261743492
x5=437659.104549921x_{5} = 437659.104549921
x6=457881.298770589x_{6} = 457881.298770589
x7=478103.480512074x_{7} = 478103.480512074
x8=−452104.359269797x_{8} = -452104.359269797
x9=−462215.453546586x_{9} = -462215.453546586
x10=387103.55157734x_{10} = 387103.55157734
x11=−411659.947271208x_{11} = -411659.947271208
x12=397214.671053036x_{12} = 397214.671053036
x13=−381326.593858327x_{13} = -381326.593858327
x14=−482437.633169413x_{14} = -482437.633169413
x15=467992.391100189x_{15} = 467992.391100189
x16=417436.896037766x_{16} = 417436.896037766
x17=−472326.544782688x_{17} = -472326.544782688
x18=−391437.716548624x_{18} = -391437.716548624
x19=−401548.834229789x_{19} = -401548.834229789
x20=427548.002206933x_{20} = 427548.002206933
x21=508436.732981117x_{21} = 508436.732981117
x22=407325.785757698x_{22} = 407325.785757698
x23=447770.203325754x_{23} = 447770.203325754
x24=−431882.160739273x_{24} = -431882.160739273
x25=−502659.802082957x_{25} = -502659.802082957
x26=−421771.056006821x_{26} = -421771.056006821
Signos de extremos en los puntos:
(498325.65129268187, 0.367879810308974)

(488214.567187414, 0.367879817932183)

(-492548.71888235153, 0.367879067751211)

(-441993.26174349233, 0.367879024996086)

(437659.10454992135, 0.367879861465904)

(457881.298770589, 0.367879842891628)

(478103.4805120741, 0.367879825916902)

(-452104.3592697969, 0.367879034327423)

(-462215.4535465862, 0.36787904322542)

(387103.5515773402, 0.367879916345941)

(-411659.94727120793, 0.367878994334176)

(397214.6710530361, 0.367879904237461)

(-381326.59385832667, 0.367878958782864)

(-482437.63316941337, 0.367879059910368)

(467992.39110018854, 0.367879834204425)

(417436.896037766, 0.367879881829084)

(-472326.5447826884, 0.367879051757506)

(-391437.71654862433, 0.367878971256175)

(-401548.8342297887, 0.367878983094852)

(427548.00220693287, 0.367879871382923)

(508436.73298111674, 0.367879802949659)

(407325.7857576976, 0.367879892746249)

(447770.2033257541, 0.367879851960231)

(-431882.160739273, 0.367879015295309)

(-502659.80208295665, 0.367879075240473)

(-421771.05600682145, 0.367879005048374)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=488214.567187414x_{1} = 488214.567187414
x2=−381326.593858327x_{2} = -381326.593858327
x3=−421771.056006821x_{3} = -421771.056006821
Puntos máximos de la función:
x3=498325.651292682x_{3} = 498325.651292682
x3=478103.480512074x_{3} = 478103.480512074
x3=387103.55157734x_{3} = 387103.55157734
x3=417436.896037766x_{3} = 417436.896037766
x3=447770.203325754x_{3} = 447770.203325754
x3=−431882.160739273x_{3} = -431882.160739273
Decrece en los intervalos
[488214.567187414,∞)\left[488214.567187414, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−421771.056006821]\left(-\infty, -421771.056006821\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(xx+1)x(−x(x+1)2+(xx+1−log⁡(xx+1)−1)2+2(xx+1−1)x+1+1x+1−xx+1−1x)=0\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} \left(- \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \left(\frac{x}{x + 1} - \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)} - 1\right)^{2} + \frac{2 \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} - \frac{\frac{x}{x + 1} - 1}{x}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−37900.0775861166x_{1} = -37900.0775861166
x2=39231.2616806718x_{2} = 39231.2616806718
x3=27364.6649680756x_{3} = 27364.6649680756
x4=−22642.9793598874x_{4} = -22642.9793598874
x5=−31119.1719419071x_{5} = -31119.1719419071
x6=19736.0513982463x_{6} = 19736.0513982463
x7=−13318.9461223305x_{7} = -13318.9461223305
x8=11259.5360712066x_{8} = 11259.5360712066
x9=9564.13273925971x_{9} = 9564.13273925971
x10=−30271.5564735419x_{10} = -30271.5564735419
x11=−16709.5536891216x_{11} = -16709.5536891216
x12=−35357.2411979529x_{12} = -35357.2411979529
x13=12954.8885281685x_{13} = 12954.8885281685
x14=18040.7838247645x_{14} = 18040.7838247645
x15=7868.64577679322x_{15} = 7868.64577679322
x16=12107.2173267535x_{16} = 12107.2173267535
x17=34993.2021144163x_{17} = 34993.2021144163
x18=−39595.3001537426x_{18} = -39595.3001537426
x19=15497.8582716937x_{19} = 15497.8582716937
x20=−31966.7868139871x_{20} = -31966.7868139871
x21=−26033.4681462979x_{21} = -26033.4681462979
x22=10411.8423132259x_{22} = 10411.8423132259
x23=20583.6815400772x_{23} = 20583.6815400772
x24=−23490.6035035017x_{24} = -23490.6035035017
x25=30755.1319801513x_{25} = 30755.1319801513
x26=14650.2077344807x_{26} = 14650.2077344807
x27=−25185.8477654784x_{27} = -25185.8477654784
x28=−20947.726231702x_{28} = -20947.726231702
x29=−29423.940357301x_{29} = -29423.940357301
x30=35840.8147532519x_{30} = 35840.8147532519
x31=−18404.8310866218x_{31} = -18404.8310866218
x32=−7384.95974708947x_{32} = -7384.95974708947
x33=24821.8057447473x_{33} = 24821.8057447473
x34=40926.4832829507x_{34} = 40926.4832829507
x35=37536.0388934349x_{35} = 37536.0388934349
x36=−20100.0968381512x_{36} = -20100.0968381512
x37=38383.6504449774x_{37} = 38383.6504449774
x38=−17557.1940548729x_{38} = -17557.1940548729
x39=−37052.4658181917x_{39} = -37052.4658181917
x40=−38747.6890242341x_{40} = -38747.6890242341
x41=42621.7038415543x_{41} = 42621.7038415543
x42=29059.899932852x_{42} = 29059.899932852
x43=33297.9755546221x_{43} = 33297.9755546221
x44=40078.872620541x_{44} = 40078.872620541
x45=22278.935918678x_{45} = 22278.935918678
x46=−14166.6065887726x_{46} = -14166.6065887726
x47=17193.1456756623x_{47} = 17193.1456756623
x48=13802.5515236344x_{48} = 13802.5515236344
x49=32450.3615667516x_{49} = 32450.3615667516
x50=−28576.3235354654x_{50} = -28576.3235354654
x51=25669.4265085301x_{51} = 25669.4265085301
x52=21431.3096358206x_{52} = 21431.3096358206
x53=−10775.9114770279x_{53} = -10775.9114770279
x54=34145.5890588052x_{54} = 34145.5890588052
x55=−21795.3536654739x_{55} = -21795.3536654739
x56=−32814.4011360366x_{56} = -32814.4011360366
x57=36688.4270041727x_{57} = 36688.4270041727
x58=−9080.48572659613x_{58} = -9080.48572659613
x59=−9928.20790969912x_{59} = -9928.20790969912
x60=18888.4189353364x_{60} = 18888.4189353364
x61=7020.85208298671x_{61} = 7020.85208298671
x62=−27728.7059432501x_{62} = -27728.7059432501
x63=−33662.0149496467x_{63} = -33662.0149496467
x64=31602.7470563148x_{64} = 31602.7470563148
x65=−15014.2606917692x_{65} = -15014.2606917692
x66=41774.0936847769x_{66} = 41774.0936847769
x67=28212.2828479808x_{67} = 28212.2828479808
x68=23126.5605877085x_{68} = 23126.5605877085
x69=−40442.9109940619x_{69} = -40442.9109940619
x70=−36204.8536972741x_{70} = -36204.8536972741
x71=−8232.7391524726x_{71} = -8232.7391524726
x72=23974.1838138567x_{72} = 23974.1838138567
x73=−15861.9094537183x_{73} = -15861.9094537183
x74=−42138.1318769933x_{74} = -42138.1318769933
x75=−11623.6005137981x_{75} = -11623.6005137981
x76=−19252.4652255136x_{76} = -19252.4652255136
x77=−12471.2779912928x_{77} = -12471.2779912928
x78=−24338.2262585714x_{78} = -24338.2262585714
x79=29907.5162902129x_{79} = 29907.5162902129
x80=8716.40275116932x_{80} = 8716.40275116932
x81=−26881.0875076883x_{81} = -26881.0875076883
x82=26517.0462169894x_{82} = 26517.0462169894
x83=−34509.6282923183x_{83} = -34509.6282923183
x84=16345.5040162387x_{84} = 16345.5040162387
x85=−41290.521563016x_{85} = -41290.521563016
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1

lim⁡x→−1−((xx+1)x(−x(x+1)2+(xx+1−log⁡(xx+1)−1)2+2(xx+1−1)x+1+1x+1−xx+1−1x))=0\lim_{x \to -1^-}\left(\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} \left(- \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \left(\frac{x}{x + 1} - \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)} - 1\right)^{2} + \frac{2 \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} - \frac{\frac{x}{x + 1} - 1}{x}\right)\right) = 0
lim⁡x→−1+((xx+1)x(−x(x+1)2+(xx+1−log⁡(xx+1)−1)2+2(xx+1−1)x+1+1x+1−xx+1−1x))=0\lim_{x \to -1^+}\left(\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} \left(- \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \left(\frac{x}{x + 1} - \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)} - 1\right)^{2} + \frac{2 \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} - \frac{\frac{x}{x + 1} - 1}{x}\right)\right) = 0
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[41774.0936847769,∞)\left[41774.0936847769, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−42138.1318769933]\left(-\infty, -42138.1318769933\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xx+1)x=e−1\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = e^{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=e−1y = e^{-1}
lim⁡x→∞(xx+1)x=e−1\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = e^{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=e−1y = e^{-1}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x/(1 + x))^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((xx+1)xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((xx+1)xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(xx+1)x=(−x1−x)−x\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = \left(- \frac{x}{1 - x}\right)^{- x}
- No
(xx+1)x=−(−x1−x)−x\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = - \left(- \frac{x}{1 - x}\right)^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x/(1+x))^x
    © Sr Examen – Калькулятор