Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-1)/(x+2)
-
-1-x
-
y=2x^2+x+1
-
-exp(-x)+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2)
- Límite de la función:
-
(x/(1+x))^x
- Derivada de:
-
(x/(1+x))^x
-
Expresiones idénticas
- (x/(uno +x))^x
- (x dividir por (1 más x)) en el grado x
- (x dividir por (uno más x)) en el grado x
- (x/(1+x))x
- x/1+xx
- x/1+x^x
- (x dividir por (1+x))^x
-
Expresiones semejantes
- (x/(1-x))^x
Gráfico de la función y = (x/(1+x))^x
Solución
Ha introducido
[src]
x
/ x \
f(x) = |-----|
\1 + x/
$$f{\left(x \right)} = \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x}$$
f = (x/(x + 1))^x
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} \left(\left(x + 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x + 1}\right) + \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 498325.651292682$$
$$x_{2} = 488214.567187414$$
$$x_{3} = -492548.718882352$$
$$x_{4} = -441993.261743492$$
$$x_{5} = 437659.104549921$$
$$x_{6} = 457881.298770589$$
$$x_{7} = 478103.480512074$$
$$x_{8} = -452104.359269797$$
$$x_{9} = -462215.453546586$$
$$x_{10} = 387103.55157734$$
$$x_{11} = -411659.947271208$$
$$x_{12} = 397214.671053036$$
$$x_{13} = -381326.593858327$$
$$x_{14} = -482437.633169413$$
$$x_{15} = 467992.391100189$$
$$x_{16} = 417436.896037766$$
$$x_{17} = -472326.544782688$$
$$x_{18} = -391437.716548624$$
$$x_{19} = -401548.834229789$$
$$x_{20} = 427548.002206933$$
$$x_{21} = 508436.732981117$$
$$x_{22} = 407325.785757698$$
$$x_{23} = 447770.203325754$$
$$x_{24} = -431882.160739273$$
$$x_{25} = -502659.802082957$$
$$x_{26} = -421771.056006821$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 488214.567187414$$
$$x_{2} = -381326.593858327$$
$$x_{3} = -421771.056006821$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = 498325.651292682$$
$$x_{3} = 478103.480512074$$
$$x_{3} = 387103.55157734$$
$$x_{3} = 417436.896037766$$
$$x_{3} = 447770.203325754$$
$$x_{3} = -431882.160739273$$
Decrece en los intervalos
$$\left[488214.567187414, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -421771.056006821\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} \left(\left(x + 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x + 1}\right) + \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 498325.651292682$$
$$x_{2} = 488214.567187414$$
$$x_{3} = -492548.718882352$$
$$x_{4} = -441993.261743492$$
$$x_{5} = 437659.104549921$$
$$x_{6} = 457881.298770589$$
$$x_{7} = 478103.480512074$$
$$x_{8} = -452104.359269797$$
$$x_{9} = -462215.453546586$$
$$x_{10} = 387103.55157734$$
$$x_{11} = -411659.947271208$$
$$x_{12} = 397214.671053036$$
$$x_{13} = -381326.593858327$$
$$x_{14} = -482437.633169413$$
$$x_{15} = 467992.391100189$$
$$x_{16} = 417436.896037766$$
$$x_{17} = -472326.544782688$$
$$x_{18} = -391437.716548624$$
$$x_{19} = -401548.834229789$$
$$x_{20} = 427548.002206933$$
$$x_{21} = 508436.732981117$$
$$x_{22} = 407325.785757698$$
$$x_{23} = 447770.203325754$$
$$x_{24} = -431882.160739273$$
$$x_{25} = -502659.802082957$$
$$x_{26} = -421771.056006821$$
Signos de extremos en los puntos:
(498325.65129268187, 0.367879810308974)
(488214.567187414, 0.367879817932183)
(-492548.71888235153, 0.367879067751211)
(-441993.26174349233, 0.367879024996086)
(437659.10454992135, 0.367879861465904)
(457881.298770589, 0.367879842891628)
(478103.4805120741, 0.367879825916902)
(-452104.3592697969, 0.367879034327423)
(-462215.4535465862, 0.36787904322542)
(387103.5515773402, 0.367879916345941)
(-411659.94727120793, 0.367878994334176)
(397214.6710530361, 0.367879904237461)
(-381326.59385832667, 0.367878958782864)
(-482437.63316941337, 0.367879059910368)
(467992.39110018854, 0.367879834204425)
(417436.896037766, 0.367879881829084)
(-472326.5447826884, 0.367879051757506)
(-391437.71654862433, 0.367878971256175)
(-401548.8342297887, 0.367878983094852)
(427548.00220693287, 0.367879871382923)
(508436.73298111674, 0.367879802949659)
(407325.7857576976, 0.367879892746249)
(447770.2033257541, 0.367879851960231)
(-431882.160739273, 0.367879015295309)
(-502659.80208295665, 0.367879075240473)
(-421771.05600682145, 0.367879005048374)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 488214.567187414$$
$$x_{2} = -381326.593858327$$
$$x_{3} = -421771.056006821$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = 498325.651292682$$
$$x_{3} = 478103.480512074$$
$$x_{3} = 387103.55157734$$
$$x_{3} = 417436.896037766$$
$$x_{3} = 447770.203325754$$
$$x_{3} = -431882.160739273$$
Decrece en los intervalos
$$\left[488214.567187414, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -421771.056006821\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} \left(- \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \left(\frac{x}{x + 1} - \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)} - 1\right)^{2} + \frac{2 \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} - \frac{\frac{x}{x + 1} - 1}{x}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -37900.0775861166$$
$$x_{2} = 39231.2616806718$$
$$x_{3} = 27364.6649680756$$
$$x_{4} = -22642.9793598874$$
$$x_{5} = -31119.1719419071$$
$$x_{6} = 19736.0513982463$$
$$x_{7} = -13318.9461223305$$
$$x_{8} = 11259.5360712066$$
$$x_{9} = 9564.13273925971$$
$$x_{10} = -30271.5564735419$$
$$x_{11} = -16709.5536891216$$
$$x_{12} = -35357.2411979529$$
$$x_{13} = 12954.8885281685$$
$$x_{14} = 18040.7838247645$$
$$x_{15} = 7868.64577679322$$
$$x_{16} = 12107.2173267535$$
$$x_{17} = 34993.2021144163$$
$$x_{18} = -39595.3001537426$$
$$x_{19} = 15497.8582716937$$
$$x_{20} = -31966.7868139871$$
$$x_{21} = -26033.4681462979$$
$$x_{22} = 10411.8423132259$$
$$x_{23} = 20583.6815400772$$
$$x_{24} = -23490.6035035017$$
$$x_{25} = 30755.1319801513$$
$$x_{26} = 14650.2077344807$$
$$x_{27} = -25185.8477654784$$
$$x_{28} = -20947.726231702$$
$$x_{29} = -29423.940357301$$
$$x_{30} = 35840.8147532519$$
$$x_{31} = -18404.8310866218$$
$$x_{32} = -7384.95974708947$$
$$x_{33} = 24821.8057447473$$
$$x_{34} = 40926.4832829507$$
$$x_{35} = 37536.0388934349$$
$$x_{36} = -20100.0968381512$$
$$x_{37} = 38383.6504449774$$
$$x_{38} = -17557.1940548729$$
$$x_{39} = -37052.4658181917$$
$$x_{40} = -38747.6890242341$$
$$x_{41} = 42621.7038415543$$
$$x_{42} = 29059.899932852$$
$$x_{43} = 33297.9755546221$$
$$x_{44} = 40078.872620541$$
$$x_{45} = 22278.935918678$$
$$x_{46} = -14166.6065887726$$
$$x_{47} = 17193.1456756623$$
$$x_{48} = 13802.5515236344$$
$$x_{49} = 32450.3615667516$$
$$x_{50} = -28576.3235354654$$
$$x_{51} = 25669.4265085301$$
$$x_{52} = 21431.3096358206$$
$$x_{53} = -10775.9114770279$$
$$x_{54} = 34145.5890588052$$
$$x_{55} = -21795.3536654739$$
$$x_{56} = -32814.4011360366$$
$$x_{57} = 36688.4270041727$$
$$x_{58} = -9080.48572659613$$
$$x_{59} = -9928.20790969912$$
$$x_{60} = 18888.4189353364$$
$$x_{61} = 7020.85208298671$$
$$x_{62} = -27728.7059432501$$
$$x_{63} = -33662.0149496467$$
$$x_{64} = 31602.7470563148$$
$$x_{65} = -15014.2606917692$$
$$x_{66} = 41774.0936847769$$
$$x_{67} = 28212.2828479808$$
$$x_{68} = 23126.5605877085$$
$$x_{69} = -40442.9109940619$$
$$x_{70} = -36204.8536972741$$
$$x_{71} = -8232.7391524726$$
$$x_{72} = 23974.1838138567$$
$$x_{73} = -15861.9094537183$$
$$x_{74} = -42138.1318769933$$
$$x_{75} = -11623.6005137981$$
$$x_{76} = -19252.4652255136$$
$$x_{77} = -12471.2779912928$$
$$x_{78} = -24338.2262585714$$
$$x_{79} = 29907.5162902129$$
$$x_{80} = 8716.40275116932$$
$$x_{81} = -26881.0875076883$$
$$x_{82} = 26517.0462169894$$
$$x_{83} = -34509.6282923183$$
$$x_{84} = 16345.5040162387$$
$$x_{85} = -41290.521563016$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} \left(- \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \left(\frac{x}{x + 1} - \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)} - 1\right)^{2} + \frac{2 \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} - \frac{\frac{x}{x + 1} - 1}{x}\right)\right) = 0$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} \left(- \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \left(\frac{x}{x + 1} - \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)} - 1\right)^{2} + \frac{2 \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} - \frac{\frac{x}{x + 1} - 1}{x}\right)\right) = 0$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[41774.0936847769, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -42138.1318769933\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} \left(- \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \left(\frac{x}{x + 1} - \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)} - 1\right)^{2} + \frac{2 \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} - \frac{\frac{x}{x + 1} - 1}{x}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -37900.0775861166$$
$$x_{2} = 39231.2616806718$$
$$x_{3} = 27364.6649680756$$
$$x_{4} = -22642.9793598874$$
$$x_{5} = -31119.1719419071$$
$$x_{6} = 19736.0513982463$$
$$x_{7} = -13318.9461223305$$
$$x_{8} = 11259.5360712066$$
$$x_{9} = 9564.13273925971$$
$$x_{10} = -30271.5564735419$$
$$x_{11} = -16709.5536891216$$
$$x_{12} = -35357.2411979529$$
$$x_{13} = 12954.8885281685$$
$$x_{14} = 18040.7838247645$$
$$x_{15} = 7868.64577679322$$
$$x_{16} = 12107.2173267535$$
$$x_{17} = 34993.2021144163$$
$$x_{18} = -39595.3001537426$$
$$x_{19} = 15497.8582716937$$
$$x_{20} = -31966.7868139871$$
$$x_{21} = -26033.4681462979$$
$$x_{22} = 10411.8423132259$$
$$x_{23} = 20583.6815400772$$
$$x_{24} = -23490.6035035017$$
$$x_{25} = 30755.1319801513$$
$$x_{26} = 14650.2077344807$$
$$x_{27} = -25185.8477654784$$
$$x_{28} = -20947.726231702$$
$$x_{29} = -29423.940357301$$
$$x_{30} = 35840.8147532519$$
$$x_{31} = -18404.8310866218$$
$$x_{32} = -7384.95974708947$$
$$x_{33} = 24821.8057447473$$
$$x_{34} = 40926.4832829507$$
$$x_{35} = 37536.0388934349$$
$$x_{36} = -20100.0968381512$$
$$x_{37} = 38383.6504449774$$
$$x_{38} = -17557.1940548729$$
$$x_{39} = -37052.4658181917$$
$$x_{40} = -38747.6890242341$$
$$x_{41} = 42621.7038415543$$
$$x_{42} = 29059.899932852$$
$$x_{43} = 33297.9755546221$$
$$x_{44} = 40078.872620541$$
$$x_{45} = 22278.935918678$$
$$x_{46} = -14166.6065887726$$
$$x_{47} = 17193.1456756623$$
$$x_{48} = 13802.5515236344$$
$$x_{49} = 32450.3615667516$$
$$x_{50} = -28576.3235354654$$
$$x_{51} = 25669.4265085301$$
$$x_{52} = 21431.3096358206$$
$$x_{53} = -10775.9114770279$$
$$x_{54} = 34145.5890588052$$
$$x_{55} = -21795.3536654739$$
$$x_{56} = -32814.4011360366$$
$$x_{57} = 36688.4270041727$$
$$x_{58} = -9080.48572659613$$
$$x_{59} = -9928.20790969912$$
$$x_{60} = 18888.4189353364$$
$$x_{61} = 7020.85208298671$$
$$x_{62} = -27728.7059432501$$
$$x_{63} = -33662.0149496467$$
$$x_{64} = 31602.7470563148$$
$$x_{65} = -15014.2606917692$$
$$x_{66} = 41774.0936847769$$
$$x_{67} = 28212.2828479808$$
$$x_{68} = 23126.5605877085$$
$$x_{69} = -40442.9109940619$$
$$x_{70} = -36204.8536972741$$
$$x_{71} = -8232.7391524726$$
$$x_{72} = 23974.1838138567$$
$$x_{73} = -15861.9094537183$$
$$x_{74} = -42138.1318769933$$
$$x_{75} = -11623.6005137981$$
$$x_{76} = -19252.4652255136$$
$$x_{77} = -12471.2779912928$$
$$x_{78} = -24338.2262585714$$
$$x_{79} = 29907.5162902129$$
$$x_{80} = 8716.40275116932$$
$$x_{81} = -26881.0875076883$$
$$x_{82} = 26517.0462169894$$
$$x_{83} = -34509.6282923183$$
$$x_{84} = 16345.5040162387$$
$$x_{85} = -41290.521563016$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} \left(- \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \left(\frac{x}{x + 1} - \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)} - 1\right)^{2} + \frac{2 \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} - \frac{\frac{x}{x + 1} - 1}{x}\right)\right) = 0$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} \left(- \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \left(\frac{x}{x + 1} - \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)} - 1\right)^{2} + \frac{2 \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} - \frac{\frac{x}{x + 1} - 1}{x}\right)\right) = 0$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[41774.0936847769, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -42138.1318769933\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = e^{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = e^{-1}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = e^{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = e^{-1}$$
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = e^{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = e^{-1}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = e^{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = e^{-1}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x/(1 + x))^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = \left(- \frac{x}{1 - x}\right)^{- x}$$
- No
$$\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = - \left(- \frac{x}{1 - x}\right)^{- x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = \left(- \frac{x}{1 - x}\right)^{- x}$$
- No
$$\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{x} = - \left(- \frac{x}{1 - x}\right)^{- x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico