Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{2 \pi^{2} \left(3 \cot{\left(\pi x \right)} - \frac{\cot^{2}{\left(\pi x \right)} + 1}{\cot{\left(\pi x \right)} - 1}\right) \left(\cot^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right)}{9 \left(\cot{\left(\pi x \right)} - 1\right)^{\frac{2}{3}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)}}{\pi}$$
$$x_{2} = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4} \right)}}{\pi}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4} \right)}}{\pi}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4} \right)}}{\pi}, \infty\right)$$