Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x-x^3
-
x^4-2x^2
-
1-x^3
-
x^2/(x-3)
-
Expresiones idénticas
- y=x^ cuatro -8x^ tres + uno 6x^ dos +1
- y es igual a x en el grado 4 menos 8x al cubo más 16x al cuadrado más 1
- y es igual a x en el grado cuatro menos 8x en el grado tres más uno 6x en el grado dos más 1
- y=x4-8x3+16x2+1
- y=x⁴-8x³+16x²+1
- y=x en el grado 4-8x en el grado 3+16x en el grado 2+1
-
Expresiones semejantes
- y=x^4-8x^3+16x^2-1
- y=x^4-8x^3-16x^2+1
- y=x^4+8x^3+16x^2+1
Gráfico de la función y = y=x^4-8x^3+16x^2+1
Solución
Ha introducido
[src]
4 3 2 f(x) = x - 8*x + 16*x + 1
$$f{\left(x \right)} = \left(16 x^{2} + \left(x^{4} - 8 x^{3}\right)\right) + 1$$
f = 16*x^2 + x^4 - 8*x^3 + 1
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(16 x^{2} + \left(x^{4} - 8 x^{3}\right)\right) + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(16 x^{2} + \left(x^{4} - 8 x^{3}\right)\right) + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 4$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left[0, 2\right] \cup \left[4, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, 4\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 4$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)
(2, 17)
(4, 1)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left[0, 2\right] \cup \left[4, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, 4\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 \left(3 x^{2} - 12 x + 8\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[2 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 \left(3 x^{2} - 12 x + 8\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[2 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(16 x^{2} + \left(x^{4} - 8 x^{3}\right)\right) + 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(16 x^{2} + \left(x^{4} - 8 x^{3}\right)\right) + 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(16 x^{2} + \left(x^{4} - 8 x^{3}\right)\right) + 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(16 x^{2} + \left(x^{4} - 8 x^{3}\right)\right) + 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 - 8*x^3 + 16*x^2 + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(16 x^{2} + \left(x^{4} - 8 x^{3}\right)\right) + 1}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(16 x^{2} + \left(x^{4} - 8 x^{3}\right)\right) + 1}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(16 x^{2} + \left(x^{4} - 8 x^{3}\right)\right) + 1}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(16 x^{2} + \left(x^{4} - 8 x^{3}\right)\right) + 1}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(16 x^{2} + \left(x^{4} - 8 x^{3}\right)\right) + 1 = x^{4} + 8 x^{3} + 16 x^{2} + 1$$
- No
$$\left(16 x^{2} + \left(x^{4} - 8 x^{3}\right)\right) + 1 = - x^{4} - 8 x^{3} - 16 x^{2} - 1$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(16 x^{2} + \left(x^{4} - 8 x^{3}\right)\right) + 1 = x^{4} + 8 x^{3} + 16 x^{2} + 1$$
- No
$$\left(16 x^{2} + \left(x^{4} - 8 x^{3}\right)\right) + 1 = - x^{4} - 8 x^{3} - 16 x^{2} - 1$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico