Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x/((x-1)*(x-4))

Gráfico de la función y = x/((x-1)*(x-4))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              x       
f(x) = ---------------
       (x - 1)*(x - 4)
f(x)=x(x−4)(x−1)f{\left(x \right)} = \frac{x}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)} 
f = x/(((x - 4)*(x - 1)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
x2=4x_{2} = 4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(x−4)(x−1)=0\frac{x}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/(((x - 1)*(x - 4))).
0(−4)(−1)\frac{0}{\left(-4\right) \left(-1\right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x(5−2x)(x−4)2(x−1)2+1(x−4)(x−1)=0\frac{x \left(5 - 2 x\right)}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Signos de extremos en los puntos:
(-2, -1/9)

(2, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2x_{1} = -2
Puntos máximos de la función:
x1=2x_{1} = 2
Decrece en los intervalos
[−2,2]\left[-2, 2\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−2]∪[2,∞)\left(-\infty, -2\right] \cup \left[2, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x((2x−5)(1x−1+1x−4)−2+2x−5x−1+2x−5x−4)−4x+10(x−4)2(x−1)2=0\frac{x \left(\left(2 x - 5\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 4}\right) - 2 + \frac{2 x - 5}{x - 1} + \frac{2 x - 5}{x - 4}\right) - 4 x + 10}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−223−223x_{1} = - 2 \sqrt[3]{2} - 2^{\frac{2}{3}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1
x2=4x_{2} = 4

lim⁡x→1−(x((2x−5)(1x−1+1x−4)−2+2x−5x−1+2x−5x−4)−4x+10(x−4)2(x−1)2)=∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x \left(\left(2 x - 5\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 4}\right) - 2 + \frac{2 x - 5}{x - 1} + \frac{2 x - 5}{x - 4}\right) - 4 x + 10}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty
lim⁡x→1+(x((2x−5)(1x−1+1x−4)−2+2x−5x−1+2x−5x−4)−4x+10(x−4)2(x−1)2)=−∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x \left(\left(2 x - 5\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 4}\right) - 2 + \frac{2 x - 5}{x - 1} + \frac{2 x - 5}{x - 4}\right) - 4 x + 10}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=1x_{1} = 1
- es el punto de flexión
lim⁡x→4−(x((2x−5)(1x−1+1x−4)−2+2x−5x−1+2x−5x−4)−4x+10(x−4)2(x−1)2)=−∞\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{x \left(\left(2 x - 5\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 4}\right) - 2 + \frac{2 x - 5}{x - 1} + \frac{2 x - 5}{x - 4}\right) - 4 x + 10}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→4+(x((2x−5)(1x−1+1x−4)−2+2x−5x−1+2x−5x−4)−4x+10(x−4)2(x−1)2)=∞\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{x \left(\left(2 x - 5\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 4}\right) - 2 + \frac{2 x - 5}{x - 1} + \frac{2 x - 5}{x - 4}\right) - 4 x + 10}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=4x_{2} = 4
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−223−223,∞)\left[- 2 \sqrt[3]{2} - 2^{\frac{2}{3}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−223−223]\left(-\infty, - 2 \sqrt[3]{2} - 2^{\frac{2}{3}}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
x2=4x_{2} = 4
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x(x−4)(x−1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x(x−4)(x−1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/(((x - 1)*(x - 4))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1(x−4)(x−1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1(x−4)(x−1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(x−4)(x−1)=−x(−x−4)(−x−1)\frac{x}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)} = - \frac{x}{\left(- x - 4\right) \left(- x - 1\right)}
- No
x(x−4)(x−1)=x(−x−4)(−x−1)\frac{x}{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)} = \frac{x}{\left(- x - 4\right) \left(- x - 1\right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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