Sr Examen

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  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • x^3/(x^2-1) x^3/(x^2-1)
  • x^3-3*x x^3-3*x
  • -x^2 -x^2
  • x/(x-1) x/(x-1)

  • Expresiones idénticas

  • cuatro (x- uno)/(x*x)
  • 4(x menos 1) dividir por (x multiplicar por x)
  • cuatro (x menos uno) dividir por (x multiplicar por x)
  • 4(x-1)/(xx)
  • 4x-1/xx
  • 4(x-1) dividir por (x*x)

  • Expresiones semejantes

  • 4(x+1)/(x*x)
Trazado el gráfico de la función/ 4(x-1)/(x*x)

Gráfico de la función y = 4(x-1)/(x*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       4*(x - 1)
f(x) = ---------
          x*x
f(x)=4(x−1)xxf{\left(x \right)} = \frac{4 \left(x - 1\right)}{x x} 
f = (4*(x - 1))/((x*x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
4(x−1)xx=0\frac{4 \left(x - 1\right)}{x x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (4*(x - 1))/((x*x)).
(−1)40⋅0\frac{\left(-1\right) 4}{0 \cdot 0}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4x2−8(x−1)x3=0\frac{4}{x^{2}} - \frac{8 \left(x - 1\right)}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = 2
Signos de extremos en los puntos:
(2, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=2x_{1} = 2
Decrece en los intervalos
(−∞,2]\left(-\infty, 2\right]
Crece en los intervalos
[2,∞)\left[2, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
8(−2+3(x−1)x)x3=0\frac{8 \left(-2 + \frac{3 \left(x - 1\right)}{x}\right)}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3x_{1} = 3
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(8(−2+3(x−1)x)x3)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{8 \left(-2 + \frac{3 \left(x - 1\right)}{x}\right)}{x^{3}}\right) = -\infty
lim⁡x→0+(8(−2+3(x−1)x)x3)=−∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8 \left(-2 + \frac{3 \left(x - 1\right)}{x}\right)}{x^{3}}\right) = -\infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[3,∞)\left[3, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,3]\left(-\infty, 3\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(4(x−1)xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 \left(x - 1\right)}{x x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(4(x−1)xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \left(x - 1\right)}{x x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (4*(x - 1))/((x*x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(4(x−1)x3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 \left(x - 1\right)}{x^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(4(x−1)x3)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \left(x - 1\right)}{x^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
4(x−1)xx=−4x−4x2\frac{4 \left(x - 1\right)}{x x} = \frac{- 4 x - 4}{x^{2}}
- No
4(x−1)xx=−−4x−4x2\frac{4 \left(x - 1\right)}{x x} = - \frac{- 4 x - 4}{x^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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