Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x+3/x-4/x^2+x+4

Gráfico de la función y = x+3/x-4/x^2+x+4

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           3   4         
f(x) = x + - - -- + x + 4
           x    2        
               x
f(x)=(x+((x+3x)−4x2))+4f{\left(x \right)} = \left(x + \left(\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}\right)\right) + 4 
f = x + x + 3/x - 4/x^2 + 4
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x+((x+3x)−4x2))+4=0\left(x + \left(\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}\right)\right) + 4 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−23−1186554+1878363+6554+1878363x_{1} = - \frac{2}{3} - \frac{1}{18 \sqrt[3]{\frac{65}{54} + \frac{\sqrt{1878}}{36}}} + \sqrt[3]{\frac{65}{54} + \frac{\sqrt{1878}}{36}}
Solución numérica
x1=0.632136992273201x_{1} = 0.632136992273201
x2=0.632136992273202x_{2} = 0.632136992273202
x3=0.632136992273231x_{3} = 0.632136992273231
x4=0.632136992273204x_{4} = 0.632136992273204
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x + 3/x - 4/x^2 + x + 4.
(30−402)+4\left(\frac{3}{0} - \frac{4}{0^{2}}\right) + 4
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2−3x2+8x3=02 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−27624+5433−3227624+543x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{62}}{4} + 54}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{62}}{4} + 54}}
Signos de extremos en los puntos:
                                  ________________                                                                                                                                                ________________ 
                                 /           ____                                                                                                                                                /           ____  
                                /       27*\/ 62                                                                                                                                                /       27*\/ 62   
                             3 /   54 + ---------                                                                                                                                          2*3 /   54 + ---------  
              3              \/             4                                    4                                       3                                     3                             \/             4      
(- ----------------------- - ---------------------, 4 - ---------------------------------------------------- - --------------------- + ------------------------------------------------- - -----------------------)
          ________________             3                                                                   2        ________________                                    ________________              3            
         /           ____                               /                                 ________________\        /           ____                                    /           ____                            
        /       27*\/ 62                                |                                /           ____ |       /       27*\/ 62                                    /       27*\/ 62                             
   2*3 /   54 + ---------                               |                               /       27*\/ 62  |    3 /   54 + ---------                                3 /   54 + ---------                            
     \/             4                                   |                            3 /   54 + --------- |    \/             4                     3              \/             4                                
                                                        |             3              \/             4     |                            - ----------------------- - ---------------------                           
                                                        |- ----------------------- - ---------------------|                                     ________________             3                                     
                                                        |         ________________             3          |                                    /           ____                                                    
                                                        |        /           ____                         |                                   /       27*\/ 62                                                     
                                                        |       /       27*\/ 62                          |                              2*3 /   54 + ---------                                                    
                                                        |  2*3 /   54 + ---------                         |                                \/             4                                                        
                                                        \    \/             4                             /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−27624+5433−3227624+543x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{62}}{4} + 54}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{62}}{4} + 54}}
Decrece en los intervalos
(−∞,−27624+5433−3227624+543]\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{62}}{4} + 54}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{62}}{4} + 54}}\right]
Crece en los intervalos
[−27624+5433−3227624+543,∞)\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{62}}{4} + 54}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{62}}{4} + 54}}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(1−4x)x3=0\frac{6 \left(1 - \frac{4}{x}\right)}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4x_{1} = 4
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(6(1−4x)x3)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 \left(1 - \frac{4}{x}\right)}{x^{3}}\right) = -\infty
lim⁡x→0+(6(1−4x)x3)=−∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 \left(1 - \frac{4}{x}\right)}{x^{3}}\right) = -\infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[4,∞)\left[4, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,4]\left(-\infty, 4\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x+((x+3x)−4x2))+4)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + \left(\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}\right)\right) + 4\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x+((x+3x)−4x2))+4)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + \left(\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}\right)\right) + 4\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x + 3/x - 4/x^2 + x + 4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+((x+3x)−4x2))+4x)=2\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + \left(\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}\right)\right) + 4}{x}\right) = 2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=2xy = 2 x
lim⁡x→∞((x+((x+3x)−4x2))+4x)=2\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + \left(\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}\right)\right) + 4}{x}\right) = 2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=2xy = 2 x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x+((x+3x)−4x2))+4=−2x+4−3x−4x2\left(x + \left(\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}\right)\right) + 4 = - 2 x + 4 - \frac{3}{x} - \frac{4}{x^{2}}
- No
(x+((x+3x)−4x2))+4=2x−4+3x+4x2\left(x + \left(\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}\right)\right) + 4 = 2 x - 4 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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