Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
x/(1-x^3)
-
Expresiones idénticas
- x+ tres /x- cuatro /x^ dos +x+ cuatro
- x más 3 dividir por x menos 4 dividir por x al cuadrado más x más 4
- x más tres dividir por x menos cuatro dividir por x en el grado dos más x más cuatro
- x+3/x-4/x2+x+4
- x+3/x-4/x²+x+4
- x+3/x-4/x en el grado 2+x+4
- x+3 dividir por x-4 dividir por x^2+x+4
-
Expresiones semejantes
- x+3/x+4/x^2+x+4
- x-3/x-4/x^2+x+4
- x+3/x-4/x^2-x+4
- x+3/x-4/x^2+x-4
Gráfico de la función y = x+3/x-4/x^2+x+4
Solución
Ha introducido
[src]
3 4
f(x) = x + - - -- + x + 4
x 2
x
$$f{\left(x \right)} = \left(x + \left(\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}\right)\right) + 4$$
f = x + x + 3/x - 4/x^2 + 4
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x + \left(\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}\right)\right) + 4 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{2}{3} - \frac{1}{18 \sqrt[3]{\frac{65}{54} + \frac{\sqrt{1878}}{36}}} + \sqrt[3]{\frac{65}{54} + \frac{\sqrt{1878}}{36}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.632136992273201$$
$$x_{2} = 0.632136992273202$$
$$x_{3} = 0.632136992273231$$
$$x_{4} = 0.632136992273204$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x + \left(\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}\right)\right) + 4 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{2}{3} - \frac{1}{18 \sqrt[3]{\frac{65}{54} + \frac{\sqrt{1878}}{36}}} + \sqrt[3]{\frac{65}{54} + \frac{\sqrt{1878}}{36}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.632136992273201$$
$$x_{2} = 0.632136992273202$$
$$x_{3} = 0.632136992273231$$
$$x_{4} = 0.632136992273204$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{62}}{4} + 54}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{62}}{4} + 54}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{62}}{4} + 54}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{62}}{4} + 54}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{62}}{4} + 54}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{62}}{4} + 54}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{62}}{4} + 54}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{62}}{4} + 54}}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{62}}{4} + 54}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{62}}{4} + 54}}$$
Signos de extremos en los puntos:
________________ ________________
/ ____ / ____
/ 27*\/ 62 / 27*\/ 62
3 / 54 + --------- 2*3 / 54 + ---------
3 \/ 4 4 3 3 \/ 4
(- ----------------------- - ---------------------, 4 - ---------------------------------------------------- - --------------------- + ------------------------------------------------- - -----------------------)
________________ 3 2 ________________ ________________ 3
/ ____ / ________________\ / ____ / ____
/ 27*\/ 62 | / ____ | / 27*\/ 62 / 27*\/ 62
2*3 / 54 + --------- | / 27*\/ 62 | 3 / 54 + --------- 3 / 54 + ---------
\/ 4 | 3 / 54 + --------- | \/ 4 3 \/ 4
| 3 \/ 4 | - ----------------------- - ---------------------
|- ----------------------- - ---------------------| ________________ 3
| ________________ 3 | / ____
| / ____ | / 27*\/ 62
| / 27*\/ 62 | 2*3 / 54 + ---------
| 2*3 / 54 + --------- | \/ 4
\ \/ 4 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{62}}{4} + 54}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{62}}{4} + 54}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{62}}{4} + 54}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{62}}{4} + 54}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{62}}{4} + 54}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{62}}{4} + 54}}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 \left(1 - \frac{4}{x}\right)}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 \left(1 - \frac{4}{x}\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 \left(1 - \frac{4}{x}\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[4, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 4\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 \left(1 - \frac{4}{x}\right)}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 \left(1 - \frac{4}{x}\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 \left(1 - \frac{4}{x}\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[4, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 4\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + \left(\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}\right)\right) + 4\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + \left(\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}\right)\right) + 4\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + \left(\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}\right)\right) + 4\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + \left(\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}\right)\right) + 4\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x + 3/x - 4/x^2 + x + 4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + \left(\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}\right)\right) + 4}{x}\right) = 2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + \left(\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}\right)\right) + 4}{x}\right) = 2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = 2 x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + \left(\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}\right)\right) + 4}{x}\right) = 2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + \left(\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}\right)\right) + 4}{x}\right) = 2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = 2 x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x + \left(\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}\right)\right) + 4 = - 2 x + 4 - \frac{3}{x} - \frac{4}{x^{2}}$$
- No
$$\left(x + \left(\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}\right)\right) + 4 = 2 x - 4 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(x + \left(\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}\right)\right) + 4 = - 2 x + 4 - \frac{3}{x} - \frac{4}{x^{2}}$$
- No
$$\left(x + \left(\left(x + \frac{3}{x}\right) - \frac{4}{x^{2}}\right)\right) + 4 = 2 x - 4 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar