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5x^3-7x+1
Trazado el gráfico de la función/ 5x^3-7x+1

Gráfico de la función y = 5x^3-7x+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3          
f(x) = 5*x  - 7*x + 1
f(x)=(5x3−7x)+1f{\left(x \right)} = \left(5 x^{3} - 7 x\right) + 1 
f = 5*x^3 - 7*x + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1000010000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(5x3−7x)+1=0\left(5 x^{3} - 7 x\right) + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2710+318555i5033−752710+318555i503x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27}{10} + \frac{3 \sqrt{18555} i}{50}}}{3} - \frac{7}{5 \sqrt[3]{\frac{27}{10} + \frac{3 \sqrt{18555} i}{50}}}
Solución numérica
x1=−1.24904839697507x_{1} = -1.24904839697507
x2=0.145036371206683x_{2} = 0.145036371206683
x3=1.10401202576838x_{3} = 1.10401202576838
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 5*x^3 - 7*x + 1.
(5⋅03−0)+1\left(5 \cdot 0^{3} - 0\right) + 1
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
15x2−7=015 x^{2} - 7 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−10515x_{1} = - \frac{\sqrt{105}}{15}
x2=10515x_{2} = \frac{\sqrt{105}}{15}
Signos de extremos en los puntos:
    _____            _____ 
 -\/ 105        14*\/ 105  
(---------, 1 + ----------)
     15             45     

   _____           _____ 
 \/ 105       14*\/ 105  
(-------, 1 - ----------)
    15            45


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=10515x_{1} = \frac{\sqrt{105}}{15}
Puntos máximos de la función:
x1=−10515x_{1} = - \frac{\sqrt{105}}{15}
Decrece en los intervalos
(−∞,−10515]∪[10515,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{105}}{15}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{105}}{15}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−10515,10515]\left[- \frac{\sqrt{105}}{15}, \frac{\sqrt{105}}{15}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
30x=030 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((5x3−7x)+1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(5 x^{3} - 7 x\right) + 1\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((5x3−7x)+1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(5 x^{3} - 7 x\right) + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 5*x^3 - 7*x + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((5x3−7x)+1x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(5 x^{3} - 7 x\right) + 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((5x3−7x)+1x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(5 x^{3} - 7 x\right) + 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(5x3−7x)+1=−5x3+7x+1\left(5 x^{3} - 7 x\right) + 1 = - 5 x^{3} + 7 x + 1
- No
(5x3−7x)+1=5x3−7x−1\left(5 x^{3} - 7 x\right) + 1 = 5 x^{3} - 7 x - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 5x^3-7x+1
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