Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{2 x}{x - 2} - \frac{x^{2} + 1}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 - \sqrt{5}$$
$$x_{2} = 2 + \sqrt{5}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2\
___ | / ___\ |
___ -\/ 5 *\1 + \2 - \/ 5 / /
(2 - \/ 5, --------------------------)
5
/ 2\
___ | / ___\ |
___ \/ 5 *\1 + \2 + \/ 5 / /
(2 + \/ 5, ------------------------)
5
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2 + \sqrt{5}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 2 - \sqrt{5}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 - \sqrt{5}\right] \cup \left[2 + \sqrt{5}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[2 - \sqrt{5}, 2 + \sqrt{5}\right]$$