Sr Examen

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  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • x*e^(-((x^2)/2)) x*e^(-((x^2)/2))
  • (x+2)/(x-4) (x+2)/(x-4)
  • (x^2+8)/(x+1) (x^2+8)/(x+1)
  • (x^2)/(x^2-1) (x^2)/(x^2-1)

  • Expresiones idénticas

  • x^ dos *√(uno -x)
  • x al cuadrado multiplicar por √(1 menos x)
  • x en el grado dos multiplicar por √(uno menos x)
  • x2*√(1-x)
  • x2*√1-x
  • x²*√(1-x)
  • x en el grado 2*√(1-x)
  • x^2√(1-x)
  • x2√(1-x)
  • x2√1-x
  • x^2√1-x

  • Expresiones semejantes

  • x^2*√(1+x)
Trazado el gráfico de la función/ x^2*√(1-x)

Gráfico de la función y = x^2*√(1-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2   _______
f(x) = x *\/ 1 - x
f(x)=x21−xf{\left(x \right)} = x^{2} \sqrt{1 - x} 
f = x^2*sqrt(1 - x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x21−x=0x^{2} \sqrt{1 - x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2*sqrt(1 - x).
021−00^{2} \sqrt{1 - 0}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x221−x+2x1−x=0- \frac{x^{2}}{2 \sqrt{1 - x}} + 2 x \sqrt{1 - x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=45x_{2} = \frac{4}{5}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

           ___ 
      16*\/ 5  
(4/5, --------)
        125


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=45x_{1} = \frac{4}{5}
Decrece en los intervalos
[0,45]\left[0, \frac{4}{5}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[45,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{4}{5}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−x24(1−x)32−2x1−x+21−x=0- \frac{x^{2}}{4 \left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{2 x}{\sqrt{1 - x}} + 2 \sqrt{1 - x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=45−2615x_{1} = \frac{4}{5} - \frac{2 \sqrt{6}}{15}
x2=2615+45x_{2} = \frac{2 \sqrt{6}}{15} + \frac{4}{5}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,45−2615]\left(-\infty, \frac{4}{5} - \frac{2 \sqrt{6}}{15}\right]
Convexa en los intervalos
[45−2615,∞)\left[\frac{4}{5} - \frac{2 \sqrt{6}}{15}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x21−x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \sqrt{1 - x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x21−x)=∞i\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \sqrt{1 - x}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2*sqrt(1 - x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x1−x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \sqrt{1 - x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x1−x)=∞i\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{1 - x}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x21−x=x2x+1x^{2} \sqrt{1 - x} = x^{2} \sqrt{x + 1}
- No
x21−x=−x2x+1x^{2} \sqrt{1 - x} = - x^{2} \sqrt{x + 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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