Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=(x+1)^3
-
y=2x
-
2*x^3-3*x
-
3-x^2
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos +x)/(x- uno)(x- dos)
- (x al cuadrado más x) dividir por (x menos 1)(x menos 2)
- (x en el grado dos más x) dividir por (x menos uno)(x menos dos)
- (x2+x)/(x-1)(x-2)
- x2+x/x-1x-2
- (x²+x)/(x-1)(x-2)
- (x en el grado 2+x)/(x-1)(x-2)
- x^2+x/x-1x-2
- (x^2+x) dividir por (x-1)(x-2)
-
Expresiones semejantes
- (x^2+x)/(x-1)(x+2)
- (x^2+x)/(x+1)(x-2)
- (x^2-x)/(x-1)(x-2)
Gráfico de la función y = (x^2+x)/(x-1)(x-2)
Solución
Ha introducido
[src]
2
x + x
f(x) = ------*(x - 2)
x - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} + x}{x - 1} \left(x - 2\right)$$
f = ((x^2 + x)/(x - 1))*(x - 2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{2} + x}{x - 1} \left(x - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{2} + x}{x - 1} \left(x - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(x - 2\right) \left(\frac{2 x + 1}{x - 1} - \frac{x^{2} + x}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) + \frac{x^{2} + x}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}} + \frac{2}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}} + \frac{2}{3}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}} + \frac{2}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}} + \frac{2}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(x - 2\right) \left(\frac{2 x + 1}{x - 1} - \frac{x^{2} + x}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) + \frac{x^{2} + x}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}} + \frac{2}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2 \
/ _______________\ | / _______________\ _______________|
| / ____ | | | / ____ | / ____ |
| / 29 3*\/ 93 | | | / 29 3*\/ 93 | / 29 3*\/ 93 |
| 3 / -- + -------- | | | 3 / -- + -------- | 3 / -- + -------- |
| 4 1 \/ 2 2 | |2 |2 1 \/ 2 2 | 1 \/ 2 2 |
|- - - ---------------------- - --------------------|*|- + |- - ---------------------- - --------------------| - ---------------------- - --------------------|
_______________ | 3 _______________ 3 | |3 |3 _______________ 3 | _______________ 3 |
/ ____ | / ____ | | | / ____ | / ____ |
/ 29 3*\/ 93 | / 29 3*\/ 93 | | | / 29 3*\/ 93 | / 29 3*\/ 93 |
3 / -- + -------- | 3*3 / -- + -------- | | | 3*3 / -- + -------- | 3*3 / -- + -------- |
2 1 \/ 2 2 \ \/ 2 2 / \ \ \/ 2 2 / \/ 2 2 /
(- - ---------------------- - --------------------, ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
3 _______________ 3 _______________
/ ____ / ____
/ 29 3*\/ 93 / 29 3*\/ 93
3*3 / -- + -------- 3 / -- + --------
\/ 2 2 1 1 \/ 2 2
- - - ---------------------- - --------------------
3 _______________ 3
/ ____
/ 29 3*\/ 93
3*3 / -- + --------
\/ 2 2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}} + \frac{2}{3}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}} + \frac{2}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}} + \frac{2}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(2 x - \frac{x \left(x + 1\right)}{x - 1} + \left(x - 2\right) \left(\frac{x \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} + 1 - \frac{2 x + 1}{x - 1}\right) + 1\right)}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 + \sqrt[3]{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(2 x - \frac{x \left(x + 1\right)}{x - 1} + \left(x - 2\right) \left(\frac{x \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} + 1 - \frac{2 x + 1}{x - 1}\right) + 1\right)}{x - 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(2 x - \frac{x \left(x + 1\right)}{x - 1} + \left(x - 2\right) \left(\frac{x \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} + 1 - \frac{2 x + 1}{x - 1}\right) + 1\right)}{x - 1}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1 + \sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 + \sqrt[3]{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(2 x - \frac{x \left(x + 1\right)}{x - 1} + \left(x - 2\right) \left(\frac{x \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} + 1 - \frac{2 x + 1}{x - 1}\right) + 1\right)}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 + \sqrt[3]{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(2 x - \frac{x \left(x + 1\right)}{x - 1} + \left(x - 2\right) \left(\frac{x \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} + 1 - \frac{2 x + 1}{x - 1}\right) + 1\right)}{x - 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(2 x - \frac{x \left(x + 1\right)}{x - 1} + \left(x - 2\right) \left(\frac{x \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} + 1 - \frac{2 x + 1}{x - 1}\right) + 1\right)}{x - 1}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1 + \sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 + \sqrt[3]{2}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + x}{x - 1} \left(x - 2\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + x}{x - 1} \left(x - 2\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + x}{x - 1} \left(x - 2\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + x}{x - 1} \left(x - 2\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x^2 + x)/(x - 1))*(x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x^{2} + x\right)}{x \left(x - 1\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x^{2} + x\right)}{x \left(x - 1\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x^{2} + x\right)}{x \left(x - 1\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x^{2} + x\right)}{x \left(x - 1\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{2} + x}{x - 1} \left(x - 2\right) = \frac{\left(- x - 2\right) \left(x^{2} - x\right)}{- x - 1}$$
- No
$$\frac{x^{2} + x}{x - 1} \left(x - 2\right) = - \frac{\left(- x - 2\right) \left(x^{2} - x\right)}{- x - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{2} + x}{x - 1} \left(x - 2\right) = \frac{\left(- x - 2\right) \left(x^{2} - x\right)}{- x - 1}$$
- No
$$\frac{x^{2} + x}{x - 1} \left(x - 2\right) = - \frac{\left(- x - 2\right) \left(x^{2} - x\right)}{- x - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar