Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x^2+x)/(x-1)(x-2)

Gráfico de la función y = (x^2+x)/(x-1)(x-2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2            
       x  + x        
f(x) = ------*(x - 2)
       x - 1
f(x)=x2+xx−1(x−2)f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} + x}{x - 1} \left(x - 2\right) 
f = ((x^2 + x)/(x - 1))*(x - 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010200-100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2+xx−1(x−2)=0\frac{x^{2} + x}{x - 1} \left(x - 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
x3=2x_{3} = 2
Solución numérica
x1=2x_{1} = 2
x2=0x_{2} = 0
x3=−1x_{3} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x^2 + x)/(x - 1))*(x - 2).
(−2)02−1\left(-2\right) \frac{0^{2}}{-1}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x−2)(2x+1x−1−x2+x(x−1)2)+x2+xx−1=0\left(x - 2\right) \left(\frac{2 x + 1}{x - 1} - \frac{x^{2} + x}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) + \frac{x^{2} + x}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3932+29233−133932+2923+23x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}} + \frac{2}{3}
Signos de extremos en los puntos:
                                                                                                          /                                                       2                                                \ 
                                                    /                                    _______________\ |    /                                  _______________\                                  _______________| 
                                                    |                                   /          ____ | |    |                                 /          ____ |                                 /          ____ | 
                                                    |                                  /  29   3*\/ 93  | |    |                                /  29   3*\/ 93  |                                /  29   3*\/ 93  | 
                                                    |                               3 /   -- + -------- | |    |                             3 /   -- + -------- |                             3 /   -- + -------- | 
                                                    |  4             1              \/    2       2     | |2   |2             1              \/    2       2     |              1              \/    2       2     | 
                                                    |- - - ---------------------- - --------------------|*|- + |- - ---------------------- - --------------------|  - ---------------------- - --------------------| 
                                   _______________  |  3          _______________            3          | |3   |3          _______________            3          |           _______________            3          | 
                                  /          ____   |            /          ____                        | |    |          /          ____                        |          /          ____                        | 
                                 /  29   3*\/ 93    |           /  29   3*\/ 93                         | |    |         /  29   3*\/ 93                         |         /  29   3*\/ 93                         | 
                              3 /   -- + --------   |      3*3 /   -- + --------                        | |    |    3*3 /   -- + --------                        |    3*3 /   -- + --------                        | 
 2             1              \/    2       2       \        \/    2       2                            / \    \      \/    2       2                            /      \/    2       2                            / 
(- - ---------------------- - --------------------, ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
 3          _______________            3                                                                                                      _______________                                                        
           /          ____                                                                                                                   /          ____                                                         
          /  29   3*\/ 93                                                                                                                   /  29   3*\/ 93                                                          
     3*3 /   -- + --------                                                                                                               3 /   -- + --------                                                         
       \/    2       2                                                                                      1             1              \/    2       2                                                             
                                                                                                          - - - ---------------------- - --------------------                                                        
                                                                                                            3          _______________            3                                                                  
                                                                                                                      /          ____                                                                                
                                                                                                                     /  29   3*\/ 93                                                                                 
                                                                                                                3*3 /   -- + --------                                                                                
                                                                                                                  \/    2       2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−3932+29233−133932+2923+23x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}} + \frac{2}{3}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−3932+29233−133932+2923+23,∞)\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}} + \frac{2}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−3932+29233−133932+2923+23]\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}} + \frac{2}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(2x−x(x+1)x−1+(x−2)(x(x+1)(x−1)2+1−2x+1x−1)+1)x−1=0\frac{2 \left(2 x - \frac{x \left(x + 1\right)}{x - 1} + \left(x - 2\right) \left(\frac{x \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} + 1 - \frac{2 x + 1}{x - 1}\right) + 1\right)}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1+23x_{1} = 1 + \sqrt[3]{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

lim⁡x→1−(2(2x−x(x+1)x−1+(x−2)(x(x+1)(x−1)2+1−2x+1x−1)+1)x−1)=∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(2 x - \frac{x \left(x + 1\right)}{x - 1} + \left(x - 2\right) \left(\frac{x \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} + 1 - \frac{2 x + 1}{x - 1}\right) + 1\right)}{x - 1}\right) = \infty
lim⁡x→1+(2(2x−x(x+1)x−1+(x−2)(x(x+1)(x−1)2+1−2x+1x−1)+1)x−1)=−∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(2 x - \frac{x \left(x + 1\right)}{x - 1} + \left(x - 2\right) \left(\frac{x \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} + 1 - \frac{2 x + 1}{x - 1}\right) + 1\right)}{x - 1}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=1x_{1} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[1+23,∞)\left[1 + \sqrt[3]{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,1+23]\left(-\infty, 1 + \sqrt[3]{2}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2+xx−1(x−2))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + x}{x - 1} \left(x - 2\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2+xx−1(x−2))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + x}{x - 1} \left(x - 2\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x^2 + x)/(x - 1))*(x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−2)(x2+x)x(x−1))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x^{2} + x\right)}{x \left(x - 1\right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x−2)(x2+x)x(x−1))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x^{2} + x\right)}{x \left(x - 1\right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2+xx−1(x−2)=(−x−2)(x2−x)−x−1\frac{x^{2} + x}{x - 1} \left(x - 2\right) = \frac{\left(- x - 2\right) \left(x^{2} - x\right)}{- x - 1}
- No
x2+xx−1(x−2)=−(−x−2)(x2−x)−x−1\frac{x^{2} + x}{x - 1} \left(x - 2\right) = - \frac{\left(- x - 2\right) \left(x^{2} - x\right)}{- x - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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