Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1/√((x-1)*(x+3)*(x-8))

Gráfico de la función y = 1/√((x-1)*(x+3)*(x-8))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                    1             
f(x) = ---------------------------
         _________________________
       \/ (x - 1)*(x + 3)*(x - 8)
f(x)=1(x−1)(x+3)(x−8)f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{\left(x - 1\right) \left(x + 3\right) \left(x - 8\right)}} 
f = 1/(sqrt(((x - 1)*(x + 3))*(x - 8)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.01.0
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−3+3⋅10−20ix_{1} = -3 + 3 \cdot 10^{-20} i
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1(x−1)(x+3)(x−8)=0\frac{1}{\sqrt{\left(x - 1\right) \left(x + 3\right) \left(x - 8\right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(sqrt(((x - 1)*(x + 3))*(x - 8))).
1(−8)(−3)\frac{1}{\sqrt{\left(-8\right) \left(- 3\right)}}
Resultado:
f(0)=612f{\left(0 \right)} = \frac{\sqrt{6}}{12}
Punto:
(0, sqrt(6)/12)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−(x−8)(2x+2)2+(x−1)(x+3)2(x−8)(x−1)(x+3)(x−8)(x−1)(x+3)=0- \frac{\frac{\left(x - 8\right) \left(2 x + 2\right)}{2} + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{2}}{\sqrt{\left(x - 8\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)} \left(x - 8\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2−933x_{1} = 2 - \frac{\sqrt{93}}{3}
x2=2+933x_{2} = 2 + \frac{\sqrt{93}}{3}
Signos de extremos en los puntos:
       ____                                                         
     \/ 93                             1                            
(2 - ------, ------------------------------------------------------)
       3          _____________      ____________      ____________ 
                 /        ____      /       ____      /       ____  
                /       \/ 93      /      \/ 93      /      \/ 93   
               /   -1 + ------ *  /   5 - ------ *  /   6 + ------  
             \/           3     \/          3     \/          3     

       ____                                                         
     \/ 93                             1                            
(2 + ------, ------------------------------------------------------)
       3          ____________      _____________      ____________ 
                 /       ____      /        ____      /       ____  
                /      \/ 93      /       \/ 93      /      \/ 93   
               /   1 + ------ *  /   -6 + ------ *  /   5 + ------  
             \/          3     \/           3     \/          3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2−933x_{1} = 2 - \frac{\sqrt{93}}{3}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[2−933,∞)\left[2 - \frac{\sqrt{93}}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,2−933]\left(-\infty, 2 - \frac{\sqrt{93}}{3}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−3+3⋅10−20ix_{1} = -3 + 3 \cdot 10^{-20} i
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞1(x−1)(x+3)(x−8)=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt{\left(x - 1\right) \left(x + 3\right) \left(x - 8\right)}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞1(x−1)(x+3)(x−8)=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\left(x - 1\right) \left(x + 3\right) \left(x - 8\right)}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(sqrt(((x - 1)*(x + 3))*(x - 8))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x(x−8)(x−1)(x+3))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \sqrt{\left(x - 8\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1x(x−8)(x−1)(x+3))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \sqrt{\left(x - 8\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1(x−1)(x+3)(x−8)=1(3−x)(−x−8)(−x−1)\frac{1}{\sqrt{\left(x - 1\right) \left(x + 3\right) \left(x - 8\right)}} = \frac{1}{\sqrt{\left(3 - x\right) \left(- x - 8\right) \left(- x - 1\right)}}
- No
1(x−1)(x+3)(x−8)=−1(3−x)(−x−8)(−x−1)\frac{1}{\sqrt{\left(x - 1\right) \left(x + 3\right) \left(x - 8\right)}} = - \frac{1}{\sqrt{\left(3 - x\right) \left(- x - 8\right) \left(- x - 1\right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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