Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\left(\frac{2 x - 1}{2 \left(x + 2\right)}\right)^{- x} \left(- \frac{\left(-2 + \frac{2 x - 1}{x + 2}\right) \left(\frac{2 x}{2 x - 1} + \frac{x}{x + 2} - 2\right)}{2 x - 1} + \left(\frac{x \left(-2 + \frac{2 x - 1}{x + 2}\right)}{2 x - 1} - \log{\left(\frac{2 x - 1}{2 \left(x + 2\right)} \right)}\right)^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 38370.1672788486$$
$$x_{2} = 42607.8923024371$$
$$x_{3} = 37522.6306378235$$
$$x_{4} = -39614.877006023$$
$$x_{5} = -34529.6166558646$$
$$x_{6} = 39217.706958503$$
$$x_{7} = 40065.2494763286$$
$$x_{8} = -41309.9831012224$$
$$x_{9} = -37919.779734194$$
$$x_{10} = -33682.0835502279$$
$$x_{11} = 33285.0015266371$$
$$x_{12} = -38767.3271973743$$
$$x_{13} = 43455.4444875702$$
$$x_{14} = 40912.7946491253$$
$$x_{15} = 34980.0412559228$$
$$x_{16} = 41760.3423091329$$
$$x_{17} = -37072.234771493$$
$$x_{18} = 35827.5673725873$$
$$x_{19} = 36675.0972552264$$
$$x_{20} = 34132.5191989209$$
$$x_{21} = -35377.153039048$$
$$x_{22} = -40462.4290176866$$
$$x_{23} = -36224.6924782549$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0.5$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\left(\frac{2 x - 1}{2 \left(x + 2\right)}\right)^{- x} \left(- \frac{\left(-2 + \frac{2 x - 1}{x + 2}\right) \left(\frac{2 x}{2 x - 1} + \frac{x}{x + 2} - 2\right)}{2 x - 1} + \left(\frac{x \left(-2 + \frac{2 x - 1}{x + 2}\right)}{2 x - 1} - \log{\left(\frac{2 x - 1}{2 \left(x + 2\right)} \right)}\right)^{2}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\left(\frac{2 x - 1}{2 \left(x + 2\right)}\right)^{- x} \left(- \frac{\left(-2 + \frac{2 x - 1}{x + 2}\right) \left(\frac{2 x}{2 x - 1} + \frac{x}{x + 2} - 2\right)}{2 x - 1} + \left(\frac{x \left(-2 + \frac{2 x - 1}{x + 2}\right)}{2 x - 1} - \log{\left(\frac{2 x - 1}{2 \left(x + 2\right)} \right)}\right)^{2}\right)\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 0.5^-}\left(\left(\frac{2 x - 1}{2 \left(x + 2\right)}\right)^{- x} \left(- \frac{\left(-2 + \frac{2 x - 1}{x + 2}\right) \left(\frac{2 x}{2 x - 1} + \frac{x}{x + 2} - 2\right)}{2 x - 1} + \left(\frac{x \left(-2 + \frac{2 x - 1}{x + 2}\right)}{2 x - 1} - \log{\left(\frac{2 x - 1}{2 \left(x + 2\right)} \right)}\right)^{2}\right)\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to 0.5^+}\left(\left(\frac{2 x - 1}{2 \left(x + 2\right)}\right)^{- x} \left(- \frac{\left(-2 + \frac{2 x - 1}{x + 2}\right) \left(\frac{2 x}{2 x - 1} + \frac{x}{x + 2} - 2\right)}{2 x - 1} + \left(\frac{x \left(-2 + \frac{2 x - 1}{x + 2}\right)}{2 x - 1} - \log{\left(\frac{2 x - 1}{2 \left(x + 2\right)} \right)}\right)^{2}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 0.5$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[42607.8923024371, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -41309.9831012224\right]$$