Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{5 \frac{\sqrt{5} \sqrt{3 \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}}}{5} \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{10}\right)}{3 \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
_________________________________________________________
/ / / ____\\ / / ____\\
/ | |2 \/ 13 || | |2 \/ 13 ||
/ ____\ / 2*cos|2*atan|- - ------|| 3*sin|2*atan|- - ------||
|2 \/ 13 | / \ \3 3 // \ \3 3 //
(2*atan|- - ------|, / - ------------------------- + ------------------------- )
\3 3 / \/ 5 5
_________________________________________________________
/ / / ____\\ / / ____\\
/ | |2 \/ 13 || | |2 \/ 13 ||
/ ____\ / 2*cos|2*atan|- + ------|| 3*sin|2*atan|- + ------||
|2 \/ 13 | / \ \3 3 // \ \3 3 //
(2*atan|- + ------|, / - ------------------------- + ------------------------- )
\3 3 / \/ 5 5
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3} \right)}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3} \right)}, \infty\right)$$