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Trazado el gráfico de la función/ (ln2+2lnx)x^ln2x

Gráfico de la función y = (ln2+2lnx)x^ln2x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                            log(2*x)
f(x) = (log(2) + 2*log(x))*x
f(x)=xlog⁡(2x)(2log⁡(x)+log⁡(2))f{\left(x \right)} = x^{\log{\left(2 x \right)}} \left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) 
f = x^log(2*x)*(2*log(x) + log(2))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1000010000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xlog⁡(2x)(2log⁡(x)+log⁡(2))=0x^{\log{\left(2 x \right)}} \left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=22x_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Solución numérica
x1=0.707106781186548x_{1} = 0.707106781186548
x2=0.707106781186499x_{2} = 0.707106781186499
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (log(2) + 2*log(x))*x^log(2*x).
0log⁡(0⋅2)(2log⁡(0)+log⁡(2))0^{\log{\left(0 \cdot 2 \right)}} \left(2 \log{\left(0 \right)} + \log{\left(2 \right)}\right)
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
xlog⁡(2x)(log⁡(x)x+log⁡(2x)x)(2log⁡(x)+log⁡(2))+2xlog⁡(2x)x=0x^{\log{\left(2 x \right)}} \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} + \frac{\log{\left(2 x \right)}}{x}\right) \left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) + \frac{2 x^{\log{\left(2 x \right)}}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xlog⁡(2x)(2log⁡(x)+log⁡(2)))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(x^{\log{\left(2 x \right)}} \left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(xlog⁡(2x)(2log⁡(x)+log⁡(2)))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{\log{\left(2 x \right)}} \left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (log(2) + 2*log(x))*x^log(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(xlog⁡(2x)(2log⁡(x)+log⁡(2))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{\log{\left(2 x \right)}} \left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right)}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(xlog⁡(2x)(2log⁡(x)+log⁡(2))x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\log{\left(2 x \right)}} \left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xlog⁡(2x)(2log⁡(x)+log⁡(2))=(−x)log⁡(−2x)(2log⁡(−x)+log⁡(2))x^{\log{\left(2 x \right)}} \left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) = \left(- x\right)^{\log{\left(- 2 x \right)}} \left(2 \log{\left(- x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right)
- No
xlog⁡(2x)(2log⁡(x)+log⁡(2))=−(−x)log⁡(−2x)(2log⁡(−x)+log⁡(2))x^{\log{\left(2 x \right)}} \left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) = - \left(- x\right)^{\log{\left(- 2 x \right)}} \left(2 \log{\left(- x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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