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Trazado el gráfico de la función/ 2*x³-3*x²-36*x+1

Gráfico de la función y = 2*x³-3*x²-36*x+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3      2           
f(x) = 2*x  - 3*x  - 36*x + 1
f(x)=(−36x+(2x3−3x2))+1f{\left(x \right)} = \left(- 36 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1 
f = -36*x + 2*x^3 - 3*x^2 + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−36x+(2x3−3x2))+1=0\left(- 36 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=12+254358+15i3+358+15i3x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{25}{4 \sqrt[3]{\frac{35}{8} + 15 i}} + \sqrt[3]{\frac{35}{8} + 15 i}
Solución numérica
x1=5.04690929223888x_{1} = 5.04690929223888
x2=0.0277149505909172x_{2} = 0.0277149505909172
x3=−3.5746242428298x_{3} = -3.5746242428298
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*x^3 - 3*x^2 - 36*x + 1.
((2⋅03−3⋅02)−0)+1\left(\left(2 \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{2}\right) - 0\right) + 1
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6x2−6x−36=06 x^{2} - 6 x - 36 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
x2=3x_{2} = 3
Signos de extremos en los puntos:
(-2, 45)

(3, -80)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3x_{1} = 3
Puntos máximos de la función:
x1=−2x_{1} = -2
Decrece en los intervalos
(−∞,−2]∪[3,∞)\left(-\infty, -2\right] \cup \left[3, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−2,3]\left[-2, 3\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(2x−1)=06 \left(2 x - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[12,∞)\left[\frac{1}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,12]\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−36x+(2x3−3x2))+1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 36 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−36x+(2x3−3x2))+1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 36 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*x^3 - 3*x^2 - 36*x + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−36x+(2x3−3x2))+1x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 36 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−36x+(2x3−3x2))+1x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 36 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−36x+(2x3−3x2))+1=−2x3−3x2+36x+1\left(- 36 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1 = - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 36 x + 1
- No
(−36x+(2x3−3x2))+1=2x3+3x2−36x−1\left(- 36 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1 = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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