Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=(x+1)^3
-
y=2x
-
2*x^3-3*x
-
3-x^2
-
Expresiones idénticas
- (x- tres)/((x- cuatro)(2x+ uno))
- (x menos 3) dividir por ((x menos 4)(2x más 1))
- (x menos tres) dividir por ((x menos cuatro)(2x más uno))
- x-3/x-42x+1
- (x-3) dividir por ((x-4)(2x+1))
-
Expresiones semejantes
- (x+3)/((x-4)(2x+1))
- (x-3)/((x+4)(2x+1))
- (x-3)/((x-4)(2x-1))
Gráfico de la función y = (x-3)/((x-4)(2x+1))
Solución
Ha introducido
[src]
x - 3
f(x) = -----------------
(x - 4)*(2*x + 1)
$$f{\left(x \right)} = \frac{x - 3}{\left(x - 4\right) \left(2 x + 1\right)}$$
f = (x - 3)/(((x - 4)*(2*x + 1)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -0.5$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = -0.5$$
$$x_{2} = 4$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x - 3}{\left(x - 4\right) \left(2 x + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x - 3}{\left(x - 4\right) \left(2 x + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(7 - 4 x\right) \left(x - 3\right)}{\left(x - 4\right)^{2} \left(2 x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 4\right) \left(2 x + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(7 - 4 x\right) \left(x - 3\right)}{\left(x - 4\right)^{2} \left(2 x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 4\right) \left(2 x + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- 8 x + \left(x - 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{2}{2 x + 1} + \frac{1}{x - 4}\right) - 4 + \frac{2 \left(4 x - 7\right)}{2 x + 1} + \frac{4 x - 7}{x - 4}\right) + 14}{\left(x - 4\right)^{2} \left(2 x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 7^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{7}}{2} + 3$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -0.5$$
$$x_{2} = 4$$
$$\lim_{x \to -0.5^-}\left(\frac{- 8 x + \left(x - 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{2}{2 x + 1} + \frac{1}{x - 4}\right) - 4 + \frac{2 \left(4 x - 7\right)}{2 x + 1} + \frac{4 x - 7}{x - 4}\right) + 14}{\left(x - 4\right)^{2} \left(2 x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -0.5^+}\left(\frac{- 8 x + \left(x - 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{2}{2 x + 1} + \frac{1}{x - 4}\right) - 4 + \frac{2 \left(4 x - 7\right)}{2 x + 1} + \frac{4 x - 7}{x - 4}\right) + 14}{\left(x - 4\right)^{2} \left(2 x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -0.5$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{- 8 x + \left(x - 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{2}{2 x + 1} + \frac{1}{x - 4}\right) - 4 + \frac{2 \left(4 x - 7\right)}{2 x + 1} + \frac{4 x - 7}{x - 4}\right) + 14}{\left(x - 4\right)^{2} \left(2 x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{- 8 x + \left(x - 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{2}{2 x + 1} + \frac{1}{x - 4}\right) - 4 + \frac{2 \left(4 x - 7\right)}{2 x + 1} + \frac{4 x - 7}{x - 4}\right) + 14}{\left(x - 4\right)^{2} \left(2 x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 4$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 7^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{7}}{2} + 3\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 7^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{7}}{2} + 3, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- 8 x + \left(x - 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{2}{2 x + 1} + \frac{1}{x - 4}\right) - 4 + \frac{2 \left(4 x - 7\right)}{2 x + 1} + \frac{4 x - 7}{x - 4}\right) + 14}{\left(x - 4\right)^{2} \left(2 x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 7^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{7}}{2} + 3$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -0.5$$
$$x_{2} = 4$$
$$\lim_{x \to -0.5^-}\left(\frac{- 8 x + \left(x - 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{2}{2 x + 1} + \frac{1}{x - 4}\right) - 4 + \frac{2 \left(4 x - 7\right)}{2 x + 1} + \frac{4 x - 7}{x - 4}\right) + 14}{\left(x - 4\right)^{2} \left(2 x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -0.5^+}\left(\frac{- 8 x + \left(x - 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{2}{2 x + 1} + \frac{1}{x - 4}\right) - 4 + \frac{2 \left(4 x - 7\right)}{2 x + 1} + \frac{4 x - 7}{x - 4}\right) + 14}{\left(x - 4\right)^{2} \left(2 x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -0.5$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{- 8 x + \left(x - 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{2}{2 x + 1} + \frac{1}{x - 4}\right) - 4 + \frac{2 \left(4 x - 7\right)}{2 x + 1} + \frac{4 x - 7}{x - 4}\right) + 14}{\left(x - 4\right)^{2} \left(2 x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{- 8 x + \left(x - 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{2}{2 x + 1} + \frac{1}{x - 4}\right) - 4 + \frac{2 \left(4 x - 7\right)}{2 x + 1} + \frac{4 x - 7}{x - 4}\right) + 14}{\left(x - 4\right)^{2} \left(2 x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 4$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 7^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{7}}{2} + 3\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 7^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{7}}{2} + 3, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -0.5$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = -0.5$$
$$x_{2} = 4$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 3}{\left(x - 4\right) \left(2 x + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 3}{\left(x - 4\right) \left(2 x + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 3}{\left(x - 4\right) \left(2 x + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 3}{\left(x - 4\right) \left(2 x + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 3)/(((x - 4)*(2*x + 1))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 4\right) \left(2 x + 1\right)} \left(x - 3\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 4\right) \left(2 x + 1\right)} \left(x - 3\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 4\right) \left(2 x + 1\right)} \left(x - 3\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 4\right) \left(2 x + 1\right)} \left(x - 3\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x - 3}{\left(x - 4\right) \left(2 x + 1\right)} = \frac{- x - 3}{\left(1 - 2 x\right) \left(- x - 4\right)}$$
- No
$$\frac{x - 3}{\left(x - 4\right) \left(2 x + 1\right)} = - \frac{- x - 3}{\left(1 - 2 x\right) \left(- x - 4\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x - 3}{\left(x - 4\right) \left(2 x + 1\right)} = \frac{- x - 3}{\left(1 - 2 x\right) \left(- x - 4\right)}$$
- No
$$\frac{x - 3}{\left(x - 4\right) \left(2 x + 1\right)} = - \frac{- x - 3}{\left(1 - 2 x\right) \left(- x - 4\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar