Gráfico de la función y = (x-3)/((x-4)(2x+1))

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
segunda derivada
$$\frac{- 8 x + \left(x - 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{2}{2 x + 1} + \frac{1}{x - 4}\right) - 4 + \frac{2 \left(4 x - 7\right)}{2 x + 1} + \frac{4 x - 7}{x - 4}\right) + 14}{\left(x - 4\right)^{2} \left(2 x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 7^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{7}}{2} + 3$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -0.5$$
$$x_{2} = 4$$

$$\lim_{x \to -0.5^-}\left(\frac{- 8 x + \left(x - 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{2}{2 x + 1} + \frac{1}{x - 4}\right) - 4 + \frac{2 \left(4 x - 7\right)}{2 x + 1} + \frac{4 x - 7}{x - 4}\right) + 14}{\left(x - 4\right)^{2} \left(2 x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -0.5^+}\left(\frac{- 8 x + \left(x - 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{2}{2 x + 1} + \frac{1}{x - 4}\right) - 4 + \frac{2 \left(4 x - 7\right)}{2 x + 1} + \frac{4 x - 7}{x - 4}\right) + 14}{\left(x - 4\right)^{2} \left(2 x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -0.5$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{- 8 x + \left(x - 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{2}{2 x + 1} + \frac{1}{x - 4}\right) - 4 + \frac{2 \left(4 x - 7\right)}{2 x + 1} + \frac{4 x - 7}{x - 4}\right) + 14}{\left(x - 4\right)^{2} \left(2 x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{- 8 x + \left(x - 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{2}{2 x + 1} + \frac{1}{x - 4}\right) - 4 + \frac{2 \left(4 x - 7\right)}{2 x + 1} + \frac{4 x - 7}{x - 4}\right) + 14}{\left(x - 4\right)^{2} \left(2 x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 4$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 7^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{7}}{2} + 3\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 7^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{7}}{2} + 3, \infty\right)$$