Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x-8/x^4
-
y=x²-2x-8
-
-x^4+x^2
-
x*e^(-x^1)
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos - uno)(x|x+ uno |)
- (x al cuadrado menos 1)(x módulo de x más 1|)
- (x en el grado dos menos uno)(x módulo de x más uno |)
- (x2-1)(x|x+1|)
- x2-1x|x+1|
- (x²-1)(x|x+1|)
- (x en el grado 2-1)(x|x+1|)
- x^2-1x|x+1|
-
Expresiones semejantes
- (x^2-1)(x|x-1|)
- (x^2+1)(x|x+1|)
Gráfico de la función y = (x^2-1)(x|x+1|)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \ f(x) = \x - 1/*x*|x + 1|
$$f{\left(x \right)} = x \left|{x + 1}\right| \left(x^{2} - 1\right)$$
f = (x*|x + 1|)*(x^2 - 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x \left|{x + 1}\right| \left(x^{2} - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x \left|{x + 1}\right| \left(x^{2} - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x^{2} \left|{x + 1}\right| + \left(x^{2} - 1\right) \left(x \operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)} + \left|{x + 1}\right|\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{17}}{8}$$
$$x_{3} = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{17}}{8}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{17}}{8}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{17}}{8}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{17}}{8}\right] \cup \left[\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{17}}{8}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{8} - \frac{\sqrt{17}}{8}, \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{17}}{8}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x^{2} \left|{x + 1}\right| + \left(x^{2} - 1\right) \left(x \operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)} + \left|{x + 1}\right|\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{17}}{8}$$
$$x_{3} = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{17}}{8}$$
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 0)
/ 2\
____ | / ____\ | / ____\ / ____\
1 \/ 17 | |1 \/ 17 | | |1 \/ 17 | |9 \/ 17 |
(- - ------, |-1 + |- - ------| |*|- - ------|*|- - ------|)
8 8 \ \8 8 / / \8 8 / \8 8 / / 2\
____ | / ____\ | / ____\ / ____\
1 \/ 17 | |1 \/ 17 | | |1 \/ 17 | |9 \/ 17 |
(- + ------, |-1 + |- + ------| |*|- + ------|*|- + ------|)
8 8 \ \8 8 / / \8 8 / \8 8 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{17}}{8}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{17}}{8}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{17}}{8}\right] \cup \left[\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{17}}{8}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{8} - \frac{\sqrt{17}}{8}, \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{17}}{8}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(2 x \left(x \operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)} + \left|{x + 1}\right|\right) + x \left|{x + 1}\right| + \left(x^{2} - 1\right) \left(x \delta\left(x + 1\right) + \operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)}\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{12}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{33}}{12} - \frac{1}{4}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{33}}{12} - \frac{1}{4}\right] \cup \left[- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{12}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{33}}{12} - \frac{1}{4}, - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{12}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(2 x \left(x \operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)} + \left|{x + 1}\right|\right) + x \left|{x + 1}\right| + \left(x^{2} - 1\right) \left(x \delta\left(x + 1\right) + \operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)}\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{12}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{33}}{12} - \frac{1}{4}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{33}}{12} - \frac{1}{4}\right] \cup \left[- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{12}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{33}}{12} - \frac{1}{4}, - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{12}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left|{x + 1}\right| \left(x^{2} - 1\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left|{x + 1}\right| \left(x^{2} - 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left|{x + 1}\right| \left(x^{2} - 1\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left|{x + 1}\right| \left(x^{2} - 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 1)*(x*|x + 1|), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} - 1\right) \left|{x + 1}\right|\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} - 1\right) \left|{x + 1}\right|\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} - 1\right) \left|{x + 1}\right|\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} - 1\right) \left|{x + 1}\right|\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x \left|{x + 1}\right| \left(x^{2} - 1\right) = - x \left(x^{2} - 1\right) \left|{x - 1}\right|$$
- No
$$x \left|{x + 1}\right| \left(x^{2} - 1\right) = x \left(x^{2} - 1\right) \left|{x - 1}\right|$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$x \left|{x + 1}\right| \left(x^{2} - 1\right) = - x \left(x^{2} - 1\right) \left|{x - 1}\right|$$
- No
$$x \left|{x + 1}\right| \left(x^{2} - 1\right) = x \left(x^{2} - 1\right) \left|{x - 1}\right|$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar