Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$2 x^{2} \left|{x + 1}\right| + \left(x^{2} - 1\right) \left(x \operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)} + \left|{x + 1}\right|\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{17}}{8}$$
$$x_{3} = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{17}}{8}$$
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 0)
/ 2\
____ | / ____\ | / ____\ / ____\
1 \/ 17 | |1 \/ 17 | | |1 \/ 17 | |9 \/ 17 |
(- - ------, |-1 + |- - ------| |*|- - ------|*|- - ------|)
8 8 \ \8 8 / / \8 8 / \8 8 /
/ 2\
____ | / ____\ | / ____\ / ____\
1 \/ 17 | |1 \/ 17 | | |1 \/ 17 | |9 \/ 17 |
(- + ------, |-1 + |- + ------| |*|- + ------|*|- + ------|)
8 8 \ \8 8 / / \8 8 / \8 8 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{17}}{8}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{17}}{8}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{17}}{8}\right] \cup \left[\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{17}}{8}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{8} - \frac{\sqrt{17}}{8}, \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{17}}{8}\right]$$