Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (1-x)*e^-x

Gráfico de la función y = (1-x)*e^-x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                -x
f(x) = (1 - x)*E
f(x)=e−x(1−x)f{\left(x \right)} = e^{- x} \left(1 - x\right) 
f = E^(-x)*(1 - x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-250000250000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e−x(1−x)=0e^{- x} \left(1 - x\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=121.376405823956x_{1} = 121.376405823956
x2=57.664342946604x_{2} = 57.664342946604
x3=38.0970717014418x_{3} = 38.0970717014418
x4=53.714063380457x_{4} = 53.714063380457
x5=61.6232240789579x_{5} = 61.6232240789579
x6=40.020216210141x_{6} = 40.020216210141
x7=67.5733090128955x_{7} = 67.5733090128955
x8=117.383920620405x_{8} = 117.383920620405
x9=47.8119589630405x_{9} = 47.8119589630405
x10=36.1905363866884x_{10} = 36.1905363866884
x11=75.5221246603965x_{11} = 75.5221246603965
x12=1x_{12} = 1
x13=65.5886304003902x_{13} = 65.5886304003902
x14=85.4744046501982x_{14} = 85.4744046501982
x15=55.6879649775293x_{15} = 55.6879649775293
x16=81.4917816149558x_{16} = 81.4917816149558
x17=119.380091923383x_{17} = 119.380091923383
x18=111.396350396671x_{18} = 111.396350396671
x19=43.9008089996782x_{19} = 43.9008089996782
x20=45.853370487631x_{20} = 45.853370487631
x21=41.9557499214057x_{21} = 41.9557499214057
x22=34.3071598061728x_{22} = 34.3071598061728
x23=87.466430197318x_{23} = 87.466430197318
x24=32.2046743865559x_{24} = 32.2046743865559
x25=107.405524706139x_{25} = 107.405524706139
x26=79.5012725708786x_{26} = 79.5012725708786
x27=51.7430576092052x_{27} = 51.7430576092052
x28=69.5591096232555x_{28} = 69.5591096232555
x29=109.400841299949x_{29} = 109.400841299949
x30=103.415520933891x_{30} = 103.415520933891
x31=49.7754697845928x_{31} = 49.7754697845928
x32=73.5336138177003x_{32} = 73.5336138177003
x33=63.6052138551392x_{33} = 63.6052138551392
x34=113.392040334004x_{34} = 113.392040334004
x35=97.432316424891x_{35} = 97.432316424891
x36=115.387900375534x_{36} = 115.387900375534
x37=95.4384664647568x_{37} = 95.4384664647568
x38=91.4517230466241x_{38} = 91.4517230466241
x39=105.410413305772x_{39} = 105.410413305772
x40=32.4578471962376x_{40} = 32.4578471962376
x41=71.545912319012x_{41} = 71.545912319012
x42=99.4264551520843x_{42} = 99.4264551520843
x43=89.4588807455217x_{43} = 89.4588807455217
x44=101.420862702525x_{44} = 101.420862702525
x45=77.51136695866x_{45} = 77.51136695866
x46=59.642856145511x_{46} = 59.642856145511
x47=93.444927247289x_{47} = 93.444927247289
x48=83.4828412467504x_{48} = 83.4828412467504
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (1 - x)*E^(-x).
e−0(1−0)e^{- 0} \left(1 - 0\right)
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−(1−x)e−x−e−x=0- \left(1 - x\right) e^{- x} - e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = 2
Signos de extremos en los puntos:
      -2 
(2, -e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2x_{1} = 2
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[2,∞)\left[2, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,2]\left(-\infty, 2\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(3−x)e−x=0\left(3 - x\right) e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3x_{1} = 3

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,3]\left(-\infty, 3\right]
Convexa en los intervalos
[3,∞)\left[3, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e−x(1−x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- x} \left(1 - x\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(e−x(1−x))=0\lim_{x \to \infty}\left(e^{- x} \left(1 - x\right)\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1 - x)*E^(-x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((1−x)e−xx)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(1 - x\right) e^{- x}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((1−x)e−xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(1 - x\right) e^{- x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e−x(1−x)=(x+1)exe^{- x} \left(1 - x\right) = \left(x + 1\right) e^{x}
- No
e−x(1−x)=−(x+1)exe^{- x} \left(1 - x\right) = - \left(x + 1\right) e^{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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