Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{2 x - 2}{x - 3} - \frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3 - \sqrt{5}$$
$$x_{2} = \sqrt{5} + 3$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2 \
___ | / ___\ ___|
___ -\/ 5 *\-4 + \3 - \/ 5 / + 2*\/ 5 /
(3 - \/ 5, -------------------------------------)
5
/ 2 \
___ | / ___\ ___|
___ \/ 5 *\-4 + \3 + \/ 5 / - 2*\/ 5 /
(3 + \/ 5, -----------------------------------)
5
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \sqrt{5} + 3$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 3 - \sqrt{5}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 3 - \sqrt{5}\right] \cup \left[\sqrt{5} + 3, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[3 - \sqrt{5}, \sqrt{5} + 3\right]$$