Sr Examen

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x^2-6x+8
Trazado el gráfico de la función/ x^2-6x+8

Gráfico de la función y = x^2-6x+8

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2          
f(x) = x  - 6*x + 8
f(x)=(x2−6x)+8f{\left(x \right)} = \left(x^{2} - 6 x\right) + 8 
f = x^2 - 6*x + 8
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200200
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2−6x)+8=0\left(x^{2} - 6 x\right) + 8 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2x_{1} = 2
x2=4x_{2} = 4
Solución numérica
x1=2x_{1} = 2
x2=4x_{2} = 4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2 - 6*x + 8.
(02−0)+8\left(0^{2} - 0\right) + 8
Resultado:
f(0)=8f{\left(0 \right)} = 8
Punto:
(0, 8)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x−6=02 x - 6 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3x_{1} = 3
Signos de extremos en los puntos:
(3, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3x_{1} = 3
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[3,∞)\left[3, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,3]\left(-\infty, 3\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2=02 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2−6x)+8)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} - 6 x\right) + 8\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x2−6x)+8)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} - 6 x\right) + 8\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2 - 6*x + 8, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2−6x)+8x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 8}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x2−6x)+8x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 8}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2−6x)+8=x2+6x+8\left(x^{2} - 6 x\right) + 8 = x^{2} + 6 x + 8
- No
(x2−6x)+8=−x2−6x−8\left(x^{2} - 6 x\right) + 8 = - x^{2} - 6 x - 8
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^2-6x+8
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