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y=x^+3x-4/x+2
Trazado el gráfico de la función/ y=x^+3x-4/x+2

Gráfico de la función y = y=x^+3x-4/x+2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3     4    
f(x) = x *x - - + 2
              x
f(x)=(xx3−4x)+2f{\left(x \right)} = \left(x x^{3} - \frac{4}{x}\right) + 2 
f = x*x^3 - 4/x + 2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101020000-10000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(xx3−4x)+2=0\left(x x^{3} - \frac{4}{x}\right) + 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=CRootOf⁡(x5+2x−4,0)x_{1} = \operatorname{CRootOf} {\left(x^{5} + 2 x - 4, 0\right)}
Solución numérica
x1=1.11976260939548x_{1} = 1.11976260939548
x2=1.11976260939548x_{2} = 1.11976260939548
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3*x - 4/x + 2.
(0⋅03−40)+2\left(0 \cdot 0^{3} - \frac{4}{0}\right) + 2
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4x3+4x2=04 x^{3} + \frac{4}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 7)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−1,∞)\left[-1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1]\left(-\infty, -1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(3x2−2x3)=04 \left(3 x^{2} - \frac{2}{x^{3}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=25⋅3453x_{1} = \frac{\sqrt[5]{2} \cdot 3^{\frac{4}{5}}}{3}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(4(3x2−2x3))=∞\lim_{x \to 0^-}\left(4 \left(3 x^{2} - \frac{2}{x^{3}}\right)\right) = \infty
lim⁡x→0+(4(3x2−2x3))=−∞\lim_{x \to 0^+}\left(4 \left(3 x^{2} - \frac{2}{x^{3}}\right)\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[25⋅3453,∞)\left[\frac{\sqrt[5]{2} \cdot 3^{\frac{4}{5}}}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,25⋅3453]\left(-\infty, \frac{\sqrt[5]{2} \cdot 3^{\frac{4}{5}}}{3}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((xx3−4x)+2)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x x^{3} - \frac{4}{x}\right) + 2\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((xx3−4x)+2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x x^{3} - \frac{4}{x}\right) + 2\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3*x - 4/x + 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((xx3−4x)+2x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x x^{3} - \frac{4}{x}\right) + 2}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((xx3−4x)+2x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x x^{3} - \frac{4}{x}\right) + 2}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(xx3−4x)+2=x4+2+4x\left(x x^{3} - \frac{4}{x}\right) + 2 = x^{4} + 2 + \frac{4}{x}
- No
(xx3−4x)+2=−x4−2−4x\left(x x^{3} - \frac{4}{x}\right) + 2 = - x^{4} - 2 - \frac{4}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=x^+3x-4/x+2
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