Sr Examen

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Gráfico de la función y = 2^(x+1)+log(3)x+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
        x + 1               
f(x) = 2      + log(3)*x + 1
$$f{\left(x \right)} = \left(2^{x + 1} + x \log{\left(3 \right)}\right) + 1$$
f = 2^(x + 1) + x*log(3) + 1
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(2^{x + 1} + x \log{\left(3 \right)}\right) + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{\log{\left(3 \right)}} - \frac{W\left(\frac{2 \log{\left(2 \right)}}{2^{\frac{1}{\log{\left(3 \right)}}} \log{\left(3 \right)}}\right)}{\log{\left(2 \right)}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.53740316130828$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2^(x + 1) + log(3)*x + 1.
$$1 + \left(0 \log{\left(3 \right)} + 2^{1}\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 3$$
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2^{x + 1} \log{\left(2 \right)} + \log{\left(3 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \cdot 2^{x} \log{\left(2 \right)}^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(2^{x + 1} + x \log{\left(3 \right)}\right) + 1\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(2^{x + 1} + x \log{\left(3 \right)}\right) + 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2^(x + 1) + log(3)*x + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2^{x + 1} + x \log{\left(3 \right)}\right) + 1}{x}\right) = \log{\left(3 \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \log{\left(3 \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2^{x + 1} + x \log{\left(3 \right)}\right) + 1}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(2^{x + 1} + x \log{\left(3 \right)}\right) + 1 = 2^{1 - x} - x \log{\left(3 \right)} + 1$$
- No
$$\left(2^{x + 1} + x \log{\left(3 \right)}\right) + 1 = - 2^{1 - x} + x \log{\left(3 \right)} - 1$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar